انديس چنبره اي و تصويري گراف ژاكوبسون

Toroidality and Projectivity index of Jacobson Graph

گراف خط مكرر مرتبه k گراف Г را با نماد LK(Г) نمايش مي دهيم و LK(Г)=L(LK-1(Г)). در حالت خاص, L0(Г)=Г وL1(Г)=L(Г) . انديس چنبره اي (و تصويري) گراف Г, كوچك ترين k اي است كه به ازاي آن k-امين گراف خط مكرر گراف Г غيرچنبره اي (و غيرتصويري) باشد. هرگاه LK(Г) به ازاي هر k≥0, چنبره اي (و تصويري) باشد, قرار مي دهيم: ∞ =ξT (و∞=ξP). گراف ژاكوبسون وابسته به حلقه جابجايي يك دار R, كه با نماد 𝔍R نمايش داده مي شود, يك گراف ساده با مجموعه رئوس RJ(R) است و دو رأس متمايز x و y در آن مجاور هستند اگر و فقط اگر 1-xy عنصر يكال R نباشد. در اين مقاله, انديس هاي چنبره اي و تصويري گراف ژاكوبسون بررسي شده است. ما يك رده بندي از انديس هاي مذكور گراف ژاكوبسون ارائه مي دهيم. انديس چنبره اي و تصويري گراف ژاكوبسون نامتناهي است يا حداكثر دو.

Given a graph Г, we denote the kth iterated line graph of Г by LK(Г) and LK(Г)=L(LK-1(Г)). In particular, L0(Г)=Г and L1(Г)=L(Г) is the line graph of Г. The toroidality (and projectivity) index of a graph Г is the smallest integer k such that the kth iterated line graph of Г is non-toroidal (and non-projective). We denote the toroidality index of a graph Г by ξT and the projectivity index of a graph Г by ξP. If LK(Г) is toroidal (and projective) for all k≥0, we define ξT=∞ (and ξP=∞). Let R be a commutative ring with nonzero identity. Then the Jacobson graph of R, denoted by 𝔍R, is defined as a simple graph with vertex set RJ(R) such that two distinct vertices x and y are adjacent if and only if 1 - xy is not a unit of R. In this paper, we study the toroidality and projectivity indices of Jacobson graphs. We give full characterization of this graph with respect to its toroidality and projectivity indices. Moreover, the toroidality and projectivity index of Jacobson graph is either infinite or two.