كاربرد تابع پايه-شعاعي چندربعي در حل مسائل تراوش با الگوريتمي جديد براي بهينه سازي پارامتر شكل

Application of RBF Multiquadric method for solving seepage problems using a new algorithm for Optimization of the shape parameter

دقت روش بدون شبكه چندربعي كاملا به انتخاب پارامتر شكل بهينه آن وابسته است. هدف از پژوهش حاضر، پيشنهاد يك الگوريتم نوين براي تعيين پارامتر شكل بهينه است، به طوري كه برخي از مشكلات پيشين اعم از؛ وابسته بودن به تعداد نقاط محاسباتي و يك حل دقيق از مسيله، هزينه بالا و دقت پايين محاسبات، تجربي بودن، همگرا شدن روش هاي بهينه سازي كلاسيك به نقاط بهينه محلي و... را برطرف نمايد. به اين منظور از الگوريتم ژنتيك استفاده مي شود و براي سرعت بخشيدن به روند حل آن، حد پايين پارامتر شكل؛ كمينه شعاع با شرط عدم تكينگي ماتريس ضرايب و حد بالاي آن؛ بيشينه شعاع اقليدسي نقاط محاسباتي پيشنهاد شده است. الگوريتم مذكور از چهار مرحله تشكيل مي شود: 1) توليد پارامتر شكل توسط الگوريتم ژنتيك در بازه پيشنهادشده، 2) تشكيل تابع چندربعي با تعداد پاييني از نقاط محاسباتي، 3) تشكيل تابع چندربعي با تعداد بالايي از نقاط محاسباتي و 4) كمينه سازي اختلاف جواب دو تابع به دست آمده از دو مرحله قبل. در الگوريتم فرا ابتكاري حاضر، توزيع نقاط يكنواخت است به طوري كه هر سه نقطه، ريوس مثلث هاي متساوي الاضلاعي هستند كه دامنه مسيله را نمايش مي دهند. براي صحت سنجي، مسايلي همگن، ناهمگن و ناهمسان از پديده تراوش حل شد به طوري كه در ميدان هاي ناهمگن از تكنيك تجزيه دامنه استفاده گرديد. مقايسه نتايج با ساير حل هاي دقيق و عددي، توانايي و دقت بالاي الگوريتم پيشنهادي را نشان داد. با اين رويكرد مي توان به پارامتر شكل بهينه اي ثابت و مستقل از تعداد نقاط محاسباتي براي هندسه هاي دلخواه دست يافت.

Accuracy of the Multiquadric method depends strongly on the choice of the shape parameter. This research proposes a new algorithm for determining the optimal shape parameter. It resolves some of the difficulties such as dependence on the number of computational nodes, existence of an analytical solution of the problem, high cost and low accuracy of calculations, convergence of classical optimization methods to local optimal points and so on. In this regard, the Genetic Algorithm (GA) has been used and, lower and upper bounds of the shape parameter are suggested as minimum (when the coefficient matrix is not singular) and maximum of Euclidean radius, for speeding up the solution process.The algorithm consists of four steps: 1) producing initial shape parameters by GA in the proposed range, 2) introducing the MQ function with a few numbers of computational points, 3) introducing the MQ function with a large number of computational points and 4) minimizing the difference of solutions of two functions obtained from the two preceding steps. In the meta-heuristic algorithm, distribution of points is uniform such that each three points are the vertices of equilateral triangles in the problem domain.For verification, examples of homogeneous, inhomogeneous and anisotropic types of the seepage phenomena were solved so that domain decomposition technique was used for inhomogeneous problems. The study shows the high capability and accuracy of the proposed algorithm. In this approach, the optimal shape parameter can be achieved independent of the number of computational points for arbitrary geometries.