كاربردهاي منطق در آناليز رياضي

Applications of Logic to Analysis

از ابتداي پيدايش منطق جديد، پيوندهاي بنيادي بين منطق و شاخه‌هاي مختلف رياضيات ايجاد شده است كه منجر به حل مسايلي در رياضيات و بلعكس حل مسائل بنياني در خود منطق گرديده است. يكي از چالش‌هاي روش منطقي در مطالعه ساختارهاي رياضي عدم امكان مطالعه بعضي از ساختارهاي مهم رياضيات، از جمله ساختارهاي موجود در آناليز، در قالب زبان و منطق مرتبه اول مي‌باشد. هدف اصلي اين مقاله معرفي منطقي مناسب براي مطالعه اين ساختارها و سپس حل مسائلي در آناليز با استفاده از ابزارهاي منطقي است. در ابتداي اين مقاله مروري كوتاه بر منطق‌هاي مناسب براي مطالعه ساختارهاي موجود در آناليز رياضي خواهيم داشت و برخي از مهمترين كاربردهاي منطق در آناليز را بيان خواهيم كرد. سپس يكي از دستاوردهاي اخير كه كاربردي مهم از منطق در آناليز ميباشد را ارائه و اثبات مي‌كنيم. به‌ويژه، مفهوم تعريف‌پذيري در منطق و پيوند آن با آناليز رياضي را مورد مطالعه قرار مي‌دهيم.

From the beginning of the emergence of new logic, fundamental links have been established between logic and various branches of mathematics, which led to solving mathematical problems and, conversely, solving basic problems in logic itself. One of the challenges of the logical methods in the study of mathematical structures is the impossibility of studying some of the important structures of mathematics, including analytic structures, in the framework of the first-order language and logic. The main purpose of this paper is to provide a suitable logic for studying these structures and then solving problems in the analysis using logical tools. At the beginning of this article, we will briefly review some suitable logics for studying the structures in mathematical analysis, and will outline some of the most important uses of logic in analysis. Then we present and prove one of the recent achievements, which is an important application of logic in analysis. In particular, we study the concept of definability in logic and its relation with mathematical analysis.