انعكاس پذيري از عملگرهاي كاون– داگلاس

Reflexivity of Cowen-Douglas Operators

فرض كنيد H يك فضاي هيلبرت، Ω يك زير مجموعه ي باز همبندي از صفحه ي مختلط ℂ ، n يك عدد صحيح مثبت و B_n (Ω) يك كلاس كاون داگلاس شامل عملگر خطي كراندار T روي H باشد. در اين مقاله براي يك حالت خاصي از Ω كه نشان مي دهيم كه اگر T∈B_n (Ω) طوري باشد كه مدل متعارفش يك عملگر ون نيومن گردد، آنگاه T انعكاس پذير است. به علاوه، در اين مطالعه فرض مي كنيم كه الحاقي از مدل متعارف متناظر با هسته ي برگمن تعميم يافته ي K، يك عملگر ون نيومن باشد. ما مي توانيم اين را با فرضي كه » ‖M_P ‖≤c‖P‖_Ω or ‖M_P ‖=c‖P‖_Ω براي هر چند جمله اي P جايگزين كنيم. در حقيقت K يك هسته ي باز مولد براي فضاي هيلبرت تابعك هم تحليلي 3 مي باشد كه ما مي توانيم عملگر ضرب شده بوسيلهي 7 را روي آن تعريف كنيم. توجه به اين نكته لازم است كه اگر K يك تابع هسته ي اكيدا مثبت روي مجموعه ي 8 باشد آنگاه اين هسته مي تواند به يك فضاي هيلبرت تابعكي بر A با هسته ي باز مولد K گسترش يابد. لازم به يادآوري است كه عملگر خطي كراندار T: H » H را يك عملگر ون نيومن گوييم هرگاه جبر *C توليد شده توسط T يك جبر ون نيومن باسد. بايد متذكر شد كه در حالت كلي عملگرهايي از كلاس كاون داگلاس انعكاس پذير نيستند زيرا هر عملگري از اين كلاس با الحاقي از عملگر ضربي غير انعكاسي ضرب شده به وسيله ي Z هم ارز يكاني است. ما نيازمند شرايط اضافي براي انعكاس پذيري T هستيم.

For a connected open subset Ω of the plane and n a positive integer, let B_n (Ω) be the Cowen-Douglas class of operators. In this article, for a special case of Ω, we show that if T∈B_n (Ω) and its canonical model is a Von Neumann operator, then T is reflexive. In the main theorem of this paper we assume that the adjoint of the canonical model associated with g.B.K is a Von Neuman operator. We may replace this by the assumption that ‖M_P ‖≤c‖P‖_Ω or ‖M_P ‖=c‖P‖_Ω for every polynomial P. Actually K is the reproducing kernel for a coanalytic functional Hilbert space K on which we can define the operator M_z^* of multiplication byz. Note that if K is stricly positive kernel function on Λ, it gives rise to a functional Hilbert space on Λ with reproducing kernel K. A bounded linear operator T is said to be Von Neumann if the C^*-algebra generated by T is a Von Neumann algebra. We must point out that the operators of Cowen-Douglas class is not reflexive in general, since every operator of this class is unitarily equivalent to the adjoint of non-reflexive operator multiplication by Z ̅. We need to impose the additional conditions for reflexivity of T.