حلقه هاي نيم- آرمنداريز و نيم- مك كوي

Semi-Armendariz and Semi-McCoy rings

در اين مقاله حلقه­ هاي نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) كه زير كلاسي از حلقه­ هاي J- آرمنداريز (J- مك ­كوي) مي ­باشند را معرفي و ويژگي­ هاي آنرا بررسي مي­كنيم. حلقه‌‌ R، نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) مي­ناميم اگر آرمنداريز (مك كوي) باشد. در اين راستا ثابت مي­كنيم كه حلقه­ هاي نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) بطور اكيد بين كلاس حلقه­ هاي شبه دوگان يكطرفه و كلاس حلقه­ هاي J- آرمنداريز ( J- مك كوي) قرار مي­گيرند. همچنين نشان مي­دهيم كه حلقه‌‌ ، نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) است اگر و فقط اگر 𝑅[𝑥] حلقه­ نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) باشد اگر و فقط اگر براي هر عضو خودتوان𝑒 ∈ 𝑅 ، حلقه 𝑒𝑅𝑒 ، نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) باشد اگر و فقط اگر حلقه­ ماتريس­ هاي 𝑛 × 𝑛 بالا مثلثي، نيم- آرمنداريز ( نيم- مك كوي) باشد. ‌ اما براي هر حلقه R و n>1 با ذكر مثالي نشان مي­دهيم كه حلقه Mn(R ‌)،‌ ﻧﯿﻢآرﻣﻨﺪارﯾﺰ (ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ، ﻧﯿﻢﻣﮏﮐﻮي راﺳﺖ) ﻧﻤﯽﺑﺎﺷﺪ و اﯾﻦ ﺑﺪان ﻣﻌﻨﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺧﺎﺻﯿﺖ ﻧﯿﻢآرﻣﻨﺪارﯾﺰ (ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ، ﻧﯿﻢﻣﮏﮐﻮي راﺳﺖ) از ﺣﻠﻘﻪﻫﺎ ﻣﻮرﯾﺘﺎ پايا نيست.

We introduce the notion of Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) rings, which are a subclass of J-Armendariz (resp. J-McCoy rings) and investigate their properties. A ring R is called Semi-Armendariz (Semi-McCoy) if is Armendariz (McCoy). As special case, we show that the class of Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) rings lies properly between the class of one-sided quasi-duo rings and the class of J-Armendariz (resp. J-McCoy) rings. We show that a ring R is Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) iff R[x] is Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) iff for any idempotent , eRe is Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) iff the n-by-n upper triangular matrix ring Tn(R) is Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy). But, by an example we show that for a ring R and n>1, is not necessarily Semi-Armendariz (Semi-McCoy) and so R is not Morita invariant. At last, we prove that for an automorphism a ring R is Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) iff the Jordan structure of R ( is Semi-Armendariz (resp. Semi-McCoy) and so we identify the Jacobson radical of A.