به‌كارگيري شبكه‌هاي غيرانطباقي درخت چهارتايي در روش المان محدود

Application of Nonconforming Quadtree Grids in the Finite Element Method

در روش المان محدود استاندارد، وجوه المان‌هاي مجاور كاملاً بر يكديگر منطبق بوده و گوشه يك المان بر وجه يك المان ديگر قرار ندارد. در صورتي‌كه گره گوشه‌اي يك المان بر روي وجه المان همسايه واقع شود گفته مي‌شود كه شبكه غيرانطباقي است. استفاده از چنين شبكه‌هايي در روش المان محدود به تكنيك‌هاي ويژه‌اي نياز دارد. در مقاله حاضر، يك روش جديد براي استفاده از شبكه‌هاي غيرانطباقي پيشنهاد شده است. درخت چهارتايي يك ساختمان داده درختي با يك الگوريتم بازگشتي بسيار سريع است و مي‌توان از آن جهت شبكه‌بندي نواحي دوبعدي استفاده كرد. المان‌هاي توليد شده با اين روش غيرانطباقي بوده و قابليت استفاده در روش المان محدود استاندارد را ندارند. در مقاله حاضر ايده جديدي جهت محاسبه توابع شكل چنين المان‌هايي پيشنهاد شده است. در اين روش از حل يك مسئله مقدار مرزي براي استخراج توابع شكل استفاده شده است. شرايط مرزي در اين مسئله به ‌نحوي انتخاب شده است كه تغييرات توابع شكل در بين هر دو گره مجاور خطي باشد. براي بررسي دقت و كارآيي روش پيشنهادي دو مثال عددي حل شده و نتايج ارائه گرديده است. نتايج نشان مي‌دهد كه با استفاده از روش پيشنهادي مي‌توان از شبكه‌هاي غيرانطباقي به‌طور موثري در روش المان محدود استفاده كرد.

In the standard finite element method, the edges of the adjacent elements are aligned to each other, and the corner of an element does not locate on the edges of another one. If this constraint violates, the mesh is called non-conforming and the use of such meshes in the finite element method requires specific techniques. In the present paper, a new method is suggested for treating non-conforming meshes. Non-conforming meshes appear generally in adaptive mesh refinement processes especially in the quadtree mesh refinement algorithm. The quadtree is a data structure with an extremely fast recursive algorithm and is used to divide a two-dimensional domain into sub-regions or elements. In the present paper, a new approach is proposed to construct the shape functions of such elements. In this method, the shape functions are considered harmonic functions and the Laplace boundary value problem is defined and its solution is used as the shape functions of the non-conforming elements. To evaluate the applicability and accuracy of the proposed method, two numerical examples are solved and the results are presented. The results show that the proposed method can be used to effectively apply the non-conforming meshes in the finite element method.