يك رويكرد تركيبياتي از قضيه ويلسون براي گروه‌هاي آبلي متناهي

در اين مقاله قصد داريم با استفاده از استدلال‌هاي شمارشي ساده و غيرمستقيم، بدون استفاده از قضايايي چون لاگرانژ و كوشي يا حتي مفاهيم اساسي جبر مانند زيرگروه، گروهِ خارج‌قسمت يا همريختي، نتايجي در نظريۀ گروه‌ها به‌دست آوريم. يادآوري مي‌كنيم كه بر اساس قضيۀ ويلسون اگر ‎$p$‎ عددي اول باشد آن‌گاه ‎$(p-1)!equiv‎ ‎1~~(mathrm{mod}‎ ~‎~p)$‎كه در آن ‎$(p-1)!$‎ حاصل‌ضرب يكال‌ها به پيمانه ‎$p$‎ است. اين مسئله در حالت كلي مطالعه شده است و به اين ترتيب اين سوال مطرح شده است: براي گروه آبلي متناهي دلخواه ‎$G$‎، دربارۀ حاصل‌ضرب همۀ عناصر ‎$G$‎ چه مي‌توان گفت؟ هر چند جواب سوال مشخص است، اما پيدا كردن آن در يك كتاب درسي استاندارد سخت است. لذا رويكرد خودمان را ارائه نموده و براي رويكرد ديگران مراجع مناسبي معرفي مي‌كنيم.‎