استفاده از روش باقيمانده وزني زماني در حل ارتعاش اجباري تير تيموشنكو تحت اثر بار متحرك

Using time weighted residual method in forced dynamic vibration analysis of timoshenko beam under moving load

در اين مقاله، فرمول‌بندي يك روش باقيمانده وزني زماني براي تحليل ارتعاش تير تيموشنكو تحت اثر بار متحرك توسعه داده شده است. ايده اصلي اين روش، كه اولين بار در مرجع [1] براي حل مسأله انتشار موج اسكالر معرفي شد، استفاده از روابط پيش انتگرال‌گيري در كنار معادلات تعادل است. در گام نخست روش پيشنهادي، بازه‌ي زماني به تعدادي زير بازه افراز و سپس ميدان شتاب در هر زير بازه، به صورت تركيب يك تابع مجهول و يك سري نمايي با ضرايب ثابت، تعريف مي‌شود. در ادامه ضابطه بارگذاري بار متحرك به صورت سري فوريه كاهش يافته بازنويسي شده و به اين ترتيب جواب خصوصي دستگاه معادله ديفرانسيل حاكم نظير بار متحرك، به صورت سري مركب از توابع پايه نمايي تعيين مي‌شود. در نهايت نيز پاسخ دستگاه معادله ديفرانسيل حاكم با روش باقيمانده وزني زماني همراه با ارضاء دقيق شرايط اوليه و شرايط مرزي در دو انتهاي تير برآورد مي‌شود. مهمترين امتياز اين روش، ذخيره‌سازي اطلاعات هر گام زماني بر روي ضرايب پايه‌هاي نمايي است، به‌گونه‌اي كه پيشروي حل در زمان بدون نياز به گسسته‌سازي تير و تنها با استفاده از يك رابطه بازگشتي مناسب براي اصلاح ضرايب پايه‌هاي نمايي انجام مي‌شود. به منظور بررسي دقت و كارايي روش پيشنهادي، نتايج حاصل در حل سه مثال نمونه از مسأله بار متحرك سرعت ثابت و شتابدار بر روي تير با شرايط مرزي متفاوت، با نتايج روش اجزا محدود مقايسه شده است. اين مقايسه بيانگر سرعت و دقت بيشتر روش پيشنهادي در برآورد نيروهاي داخلي تير نسبت به روش المان محدود است.

In this paper, formulation of a recently proposed time-weighted residual method has been developed for the vibration analysis of Timoshenko beams under moving loads. Employing pre-integration relations as well as equilibrium equations, is the main idea of this method. In the first step of the proposed method, the time interval is subdivided into a number of sub-intervals and then the acceleration field in each sub-interval is defined as the combination of an unknown function and an exponential series with constant coefficients. Finally, the solution of the problem is estimated by the time-weighted residual method along with exact satisfaction of the initial and the boundary conditions at the two ends of the beam. Storing the information of solution at each time step on the exponential coefficients, is the most important advantage of this method, so that the solution is progressed in time without the need to discretize beams and only by using an appropriate recursive relation to update the exponential coefficients. In order to investigate the accuracy and efficiency of the proposed method, the results of solving three sample problems of constant and accelerated moving load on the beams with different boundary conditions, are compared with the results of finite element method. This comparison illustrates the speed and accuracy of the proposed method in estimating the internal shear forces and bending moments rather than those obtained by the finite element method.