رتبه تانسور و مسئله بهترين تقريب رتبه پايين

رتبه يكي از مشخصه‌هاي مهم  هر ماتريس است. رتبه ماتريس A عبارت است از كوچك‌ترين عدد صحيح r به‌طوري‌كه A را بتوان با استفاده از مجموع r ماتريس رتبه‌يك نوشت. رتبهٔ ماتريس را مي‌توان با استفاده از روش حذف گاوسي يا تجزيهٔ پلكاني به‌دست آورد. رتبهٔ تانسور ‎A  عبارت است از كوچك‌ترين عدد صحيح ‎ r به‌طوري‌كه ‎ A  به‌وسيلهٔ مجموع  ‎  r  تانسور رتبه‌يك ايجاد شود. برخلاف رتبه ماتريس،  رتبه تانسور  به‌راحتي قابل محاسبه نيست، چنان‌كه به‌جز در مواردي خاص، مسئله‌اي NP‌‌-سخت است.  تاكنون مطالعات گسترده‌اي در زمينه محاسبه رتبه تانسورهاي 2×2×‌2 انجام گرفته است و چندين روش شامل محاسبه ابردترمينان، بررسي ساختار دروني تانسور و نيز طبقه‌بندي تانسور به صورت‌هاي كانوني  ارائه شده‌اند. يك مسئله اساسي در كار با ماتريس و تانسورها،  محاسبه بهترين تقريب رتبه پايين است. طبق قضيه اكارتيانگ، بهترين تقريب رتبه k در ماتريس‌ها با مجموع k عامل از تجزيه مقدار تكين قابل محاسبه است. به‌علاوه، براي يك ماتريس، محاسبه بهترين تقريب رتبه  k+1 با استفاده از بهترين تقريب رتبه k، امكان‌پذيراست. اما برخلاف ماتريس‌ها،  ممكن است بسياري از تانسورها   تقريب رتبه پايين مشخص‌شده‌اي نداشته باشند.   اين مسئله‌اي  تبهگن  است   و اين تانسورها  را  مي‌توان  با دنباله‌اي از تانسورهاي رتبه پايين، به‌قدر كافي نزديك، تقريب زد.