تعيين جواب بهينه معادله تصادفي-مالي فاينمن-كاك بر پايه بسط ژاكوبي و ايرفويل

در اين مقاله، معادله فاينمن-كاك را با روش هم محلي با پايه‌هاي ژاكوپي و ايرفويل، حل مي‌كنيم. اين معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي يكي از معادلات مهم و پركاربرد تصادفي در رياضيات مالي است.به دليل افزايش تقاضادر علوم كاربردي مثل رياضيات مالي، اقتصاد و پيچيدگي در مدلسازي‌ها، تجزيه و تحليل و محاسبه داده‌ها، تلاش‌هاي چشمگيري در جستجوي مدل‌هاي بهتر رياضي براي بدست آوردن جواب‌هاي تقريبي معادلات مدلسازي شده در سال‌هاي اخير انجام شده است. به خوبي تشخيص داده شده است كه بسياري از سيستم‌هايي كه در دوره جديد با آن روبرو شده‌اند را نمي‌توان تنها با معادلات ديفرانسيل معمولي به روش‌هاي سنتي و يا مدل معادلات ديفرانسيل تصادفي نشان داد.حالات اينگونه سيستم‌ها داراي دو مؤلفه است، يعني حالت مداوم و حالت رويداد گسسته. ديناميك گسسته ممكن است براي نشان دادن يك محيط تصادفي يا ساير عوامل تصادفي كه نمي‌تواند در مدل‌هاي معادله ديفرانسيل سنتي نشان داده شود مورد استفاده قرار گيرد.سيستم‌هاي ديناميكي كه در بالا به آنها اشاره شد اغلب به عنوان سيستم تركيبي شناخته مي‌شوند. در نگاه اول، اين فرايندها ظاهراً شبيه به فرآيندهاي انتشار مشهور هستند. فرمول فاينمن –كاك يكي از روش‌هاي نوين پيشنهادي براي حل اينگونه از معادلات است.اين فرمول روش حلي براي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه دوم و معادلات ديفرانسيل تصادفي ارائه مي‌دهد. كاربردهاي اين فرمول در زمينه‌ي كنترل تصادفي، تأمين رياضي مالي، تجزيه و تحليل ريسك و زمينه‌هاي مرتبط با آن مي‌توان نام برد.در اين مقاله با پياده‌سازي روش‌هاي عددي روي معادله فاينمن-كاك، دستگاه‌هاي غيرخطي حاصل مي‌شود كه مي‌توان آنها را با روش‌هاي عددي حل دستگاه‌هاي غيرخطي، مثل روش تكراري نيوتن حل كرد. وجود، يكتايي جواب و همگرايي روش‌ها مورد بررسي قرار مي‌گيرد و در مثالي نشان خواهيم داد كه با  تعداد تكرار كم و  معيار توقف مناسب با سرعت همگرايي بالا به جواب تقريبي معادله همگرا شد و اين نشان‌دهنده‌ي دقت بالاي جواب تقريبي و سرعت همگرايي روش‌ها ي عددي است.