بررسي برهان‌پذيريِ «نامتناهي بالفعل»

موضوع نامتناهي بالفعل كه مسائلي همچون تناهي يا عدم تناهي ابعاد عالم، امكان وجود جزء لايتجزي، امكان وجود نامتناهي شيء، تناهي يا عدم تناهي زمان و حوادث گذشته، و تسلسل در سلسله علل و معاليل را شامل مي‌شود، از ديرباز مورد توجه و اختلاف انديشمندان بوده است. برخي از آنان بر امتناع نامتناهي بالفعل و برخي بر امكان آن، براهيني اقامه كرده‌اند. عده‌اي نيز ادله طرفين را ناتمام دانسته و در مسأله توقف كرده‌اند. در پي تلاش‌هاي كانتور پذيرفته شد كه نامتناهي بالفعل، قابل اثبات يا ابطال منطقي نيست. با قبول برهان‌ناپذيري و تصميم‌ناپذيريِ رياضياتيِ نامتناهي بالفعل و استقلال آن از رياضياتِ متناهي، در نهايت، در نظريه اصل‌موضوعي مجموعه‌ها، اصل‌موضوع نامتناهي به عنوان يكي از اصول‌موضوعه پذيرفته شد. در اين نوشتار، علاوه بر نشان دادنِ استقلال نامتناهي بالفعل از رياضيات متناهي، برهاني جهت اثبات برهان‌ناپذيريِ رياضياتيِ نامتناهي بالفعل ارائه مي‌شود. روشن مي‌شود كه براهين رياضياتيِ ابطال نامتناهي بالفعل (مانند تطبيق، طرف و وسط، سُلَّمي و غيره)، برهان به معناي منطقي آن نيستند، بلكه تنها جنبه تنبيهي دارند و در صدد روشن كردنِ هر چه بيشترِ لوازمِ پذيرش مفهوم نامتناهي بالفعل هستند تا در سايه آن، بتوان به قابليت تصديقِ امكان يا امتناع نامتناهي بالفعل دست يافت.