آيا حساب متعيّن است؟

آيا حساب متعيّن و قطعي است؟ به‌عبارت‌ديگر، آيا به ازاي هر حكمي در حسابِ اعداد طبيعي، دليلي براي درستي يا نادرستي آن حكم وجود دارد؟ براي مثال، آيا شواهدي براي درستي يا نادرستي حدس گولدباخ وجود دارد ‌حتي اگر ما از آن‌ها آگاه نباشيم؟ در وهلهٔ اول به نظر مي‌رسد كه پاسخ به‌وضوح مثبت است‎‏‏، اما از كجا مطمئن باشيم؟ قضيهٔ ناتماميت گودل در اين مورد چه مي‌گويد؟ مستقل بودن برخي احكام نظريهٔ مجموعه‌ها مانند اصل انتخاب و فرضيهٔ پيوستار ‌ چه ارتباطي با اين موضوع دارد؟ در اين مقاله به بررسي اين پرسش‌ها مي‌پردازيم. علاوه‌بر‌اين، تأثير وجود امكانات نامتعارفي از قبيل ماشين‌هاي محاسبي كه قادر به انجام تعدادي نامتناهي دستورالعمل در زماني متناهي‌اند و همچنين دستگاه‌هاي اثباتي مجهز به قواعد نامتناهي را بر پاسخ اين پرسش‌ها بررسي خواهيم‌ كرد.