برخي از ساختارهاي اعداد كاتالان I

يكي از مهم‌ترين دلايل شهرت اعداد كاتالان، ظاهر شدن آن‌ها در بسياري از مسائل شمارشي مي‌باشد. با مطالعه منابعي كه از اعداد كاتالان وجود دارد، مانند كتاب‌‌ها و صفحه ويكي‌پديا، متوجه مي‌شويم در تركيبيات؛ دنباله اين اعداد در بسياري از مسائل شمارشي مانند مثلث‌بندي كردن يك چند ضلعي، پرانتزگذاري بين‌ n متغيير، شمارش قله‌ها، مسيرهاي مشبكه، دنباله‌هاي پرهيز و درخت‌هاي دودويي، به‌صورت بازگشتي ظاهر مي‌گردد. اين اعداد براي نخستين بار توسط رياضيدان بلغاري اُوجِن چارلز كاتالان كشف شد و بعدها به اين نام مشهور گرديد. البته، تاريخ رياضيات نشان مي‌دهد كه اين اعداد خيلي قبل‌تر از كاتالان مورد بررسي قرار گرفته‌اند. اين اعداد به شكل‌ها و صورت‌هاي متفاوتي ظاهر مي‌گردند، اما كاربرد زياد اين اعداد در شاخه‌هاي مختلف رياضي باعث شده حتي تصور اينكه اعداد كاتالان روزگاري ناشناخته و تعريف نشده بوده است، سخت باشد. در اين مقاله، ابتدا ضريب دوجمله‌اي مركزي را معرفي مي‌كنيم و سپس به مطالعه بعضي از ساختار‌هاي مشهور اعداد كاتالان مانند مسيرهاي ديك، درخت‌هاي دودويي، جايگشت‌ها و افراز‌ها، مي‌پردازيم. ما همچنين بعضي از ساختار‌هاي جبري و ديگر اعداد كاتالان را نيز بررسي مي‌كنيم.