نتيجه‌اي درباره قطر جبرهاي باناخ عملگري انقباض‌ پذير

به يك جبر باناخ A انقباض‌پذير گفته مي‌شود هرگاه  به ازاي  هر A-دومدول باناخ E، هر اشتقاق  پيوسته از A به E دروني باشد.  مفهوم انقباض‌پذيري در مبحث كوهمولوژي و ميانگين‌پذيري جبرهاي باناخ ظاهر مي‌گردد. تنها جبرهاي  باناخ  انقباض‌پذيري كه تا كنون شناخته شده اند، از بعد متناهي هستند. درواقع،  يكي از قديمي‌ترين حدس‌ها در اين مبحث، عدم وجود جبرهاي باناخ  انقباض‌پذير با بعد نامتناهي است. حالت خاص اين حدس، كه آن نيز  هنوز  بي‌پاسخ  است، مي‌‌گويد كه براي يك فضاي باناخ X اگر B(X)، جبر باناخ همه عملگرهاي خطي و پيوسته  روي X،  انقباض‌پذير باشد آنگاه X از بعد متناهي است.  براساس نتيجه اي شناخته شده،  يك جبر باناخ A  انقباض‌پذير است اگر و  فقط اگر  عنصر ويژه‌اي به‌نام  قطر در A⊗π A، حاصلضرب تانسوري تصويري A با خودش، موجود باشد.  در اين يادداشت كوتاه، نشان مي‌دهيم كه اگر X از  بعد نامتناهي باشد و B(X)  انقباض‌پذير  باشد، آنگاه تصوير هر قطر B(X)،  تحت نگاشت كانوني، در B(X⊗π X) برابر با عملگر صفر است. براي اثبات از برآورد معروف كدك-اسنوبار درباره نرم عملگرهاي تصويرگر روي زيرفضاهاي با بعد متناهي، استفاده مي‌كنيم. اميدواريم كه دانستن چنين ويژگي قطر  و روشي كه در اين يادداشت ارائه مي‌كنيم، در آينده منجر به حل شدن حدس متناهي بعد بودن X شود.