حل عددي تعميم‌يافته معادله موج غيرخطي KZK در حوزه زمان

حل عددي تعميم‌يافته معادله موج غيرخطي KZK در حوزه زمان

افزايش روز افزون كاربردهاي تشخيصي و درماني اولتراسوند غيرخطي در زمينه پزشكي و بيولوژي سبب ترغيب پژوهشگران در دستيابي به مدلسازي دقيق و شبيه‌سازي كارامد از رژيم اولتراسوند غيرخطي شده است. در بين مدل‌هاي غيرخطي براي مدلسازي انتشار پرتوي اولتراسوند داراي پراش در سيال غير ايديال با تلفات، معادله موج غيرخطي KZK بيشترين توجه و استقبال را پيدا كرده است. چند الگوريتم عددي براي حل معادله KZK تدوين شده است. در كل، تمامي اين الگوريتم‌ها به سه دسته قابل تقسيم هستند: حوزه فركانس، حوزه زمان و تركيب حوزه زمان- فركانس. وجود تقريب پارابوليك در ذات معادله KZK به محدوديت صحت بازه حل جمله پراش، به‌ويژه در نزديكي منبع و ناحيه دور از محور انتشار منجر مي‌شود. در اين مقاله، تعميمي جديد براي حل عددي جمله پراش معادله KZK در حوزه زمان ارايه مي شود. اين الگوريتم، عملگر لاپلاسين را با بهره‌گيري از روش‌هاي 5-نقطه بازگشتي ضمني تفاضل محدود (IBFD 5-نقطه) و 5-نقطه كرانك-نيكلسون تفاضل محدود (CNFD 5-نقطه) محاسبه مي كند. اين امر امكان گسسته سازي كم‌حجم‌تر را براي عملگر لاپلاسين فراهم مي كند، بدون اينكه از دقت جواب عددي كاسته شود. مقايسه نتايج الگوريتم پيشنهادي با الگوريتم منتشر شده براي منبع صوت متقارن دايروي، نشان‌دهنده دقت محاسباتي و كارايي عددي اين روش است. به دنبال آن، نتايج انتشار موج اولتراسوند غيرخطي با منبع مربعي براي نشان دادن توانمندي روش ارايه شده است.

Increasing number of diagnostic and therapeutic applications of finite amplitude ultrasound in medicine and biology has motivated researchers toward more accurate modeling and more efficient simulation of nonlinear ultrasound regime. One of the most widely used nonlinear models for propagation of 3D diffractive sound beams in dissipative media is the KZK (Khokhlov, Kuznetsov, Zabolotskaya) parabolic nonlinear wave equation. Various numerical algorithms have been developed to solve the KZK equation. Generally, these algorithms fall into one of the three main categories: frequency domain, time domain and combined time-frequency domain. The intrinsic parabolic approximation in the KZK equation imposes limiting accuracy in the solution to the diffraction term of the KZK equation particularly for field points close to the source or in far off-axis region. In this work we developed a novel generalized time domain numerical algorithm to solve the diffraction term of the KZK equation. The algorithm solves the Laplacian operator of the KZK equation in the 3D Cartesian coordinates using novel 5-point Implicit Backward Finite Difference (IBFD) and 5-point Crank-Nicolson Finite Difference (CNFD) techniques. This leads to a more uniform discretization of the Laplacian operator which in turn results in a more accurate solution to the diffraction term in the KZK equation. Comparison between results obtained with the new algorithm and the previouslypublished data for rectangular ultrasound sources is presented.