بازسازي مدل‌هاي مرگ‌ومير بر پايه شكنندگي با استفاده از تعميم توزيع گومپرتز

Reconstruction of Frailty- based Mortality Models by a Generalisation of Gompertz Distribution

مدل‌هاي مرگ‌ومير ناهمگن از مهم‌ترين موضوعات مورد بررسي در مطالعات تحليل بقا هستند. در اين مدل‌ها به‌علت تفاوت‌هاي فردي و ژنتيكي موجود بين افراد كه بر طول عمر آنها موثر است، با جمعيت‌هاي ناهمگن مواجه هستيم كه براي تبيين اين ناهمگني از كميت حقيقي مقدار نامنفي و غيرقابل مشاهده‌اي به نام شكنندگي استفاده مي‌كنيم. ازآنجاكه متغير شكنندگي غيرقابل مشاهده است، اندازه‌گيري آن غيرممكن است. براي لحاظ‌كردن اين متغير در مدل مرگ‌ومير با معرفي توزيع گومپرتز تعميم‌يافته نشان مي‌دهيم كه در مدل‌هاي مرگ‌ومير ناهمگن با نيروي مرگ‌ومير پايه گومپرتز و شكنندگي گاما، متغير تصادفي طول عمر را مي‌توان به‌صورت تفاضل دو متغير تصادفي گومپرتز تعميم‌يافته درنظرگرفت. در اين تفاضل، متغير تصادفي اول، بيانگر نيروي مرگ‌ومير جمعيت است كه به‌صورت گومپرتز توزيع شده است و متغير تصادفي دوم، بيانگر شكنندگي است كه باتوجه به رابطه بين توزيع گومپرتز تعميم‌يافته و نسخه عكس آن، مي‌توان اين متغير را با توزيع عكس گومپرتز تعميم‌يافته درنظرگرفت. روش مورد استفاده در اين مقاله اين امكان را به توزيع تفاضل مي‌دهد كه توزيع شكنندگي را به‌عنوان توزيع تحويل طول عمر تفسير كند.

Heterogeneous mortality models are one of the most important subjects in survival analysis studies. In such models, because of individual and genetic differences between individuals which are influenced on their lifetime, we encounter heterogeneous populations. To make clear this heterogeneity, we use a non-negative real valued quantity called frailty. Since frailty variable is an unobservable quantity, so it is not possible to measure it. To consider this variable in mortality models by introducing a generalized Gompertz distribution, we show that in heterogeneous mortality models with Gompertz as a baseline force of mortality and Gamma distributed frailty, the lifetime random variable can be considered as a difference of two generalized Gompertz random variables. In this difference, the first random variable indicates the populationʹs force of mortality which is distributed with Gompertz and the second random variable indicates frailty. Due to the relation between generalized Gompertz distribution and its reversed version, we consider the frailty variable with reversed generalized Gompertz distribution. The method used in this article allows the difference distribution to interpret the frailty distribution as a lifetime reduction distribution.