استفاده از روش‌هاي نظريه گراف‌ها براي بهبود خوش وضعي ماتريس نرمي سازه ها

Graph Theoretical Methods for improving The conditioning of Flexibility Matrix of Structures

در تحليل رايانه‌اي سازه‌ها، تحليل بايد به‌صورتي انجام پذيرد كه علاوه بر كاهش فضاي كامپيوتر و زمان اجراي محاسباتي كامپيوتر، خطاهاي محاسباتي نيز به كم‌ترين مقدار ممكن برسد. اين امر با تشكيل ماتريس‌هاي سازه‌اي مناسب كه در حين پر صفر و خوش ساختار بودن، خوش حالت نيز مي‌باشد، تحقق خواهد يافت. اين يك مساله‌ي بهينه‌سازي، چندمنظوره خواهد بود. در اين مقاله بر روي خطاهاي محاسباتي، اعم از خطاهاي گرد كردن و ... در تشكيل ماتريس نرمي سازه و كاهش اين خطاها با ارايه الگوريتم‌هاي مناسب، پايدار و كارا تاكيد شده است. زماني كه به دليل ساختارهاي به‌خصوصي، ماتريس نرمي به‌صورت بد وضع درمي آيد خطاهاي محاسبات افزايش مي‌يابند. اين حالت در سازه‌هاي داراي اعضاي با سختي‌هاي متفاوت مشهودتر است. استفاده از اعضاي ضعيف، سبب ايجاد درايه‌هاي بزرگ غير قطري در ماتريس نرمي مي‌شود كه نتيجه‌ي آن ايجاد بد وضعي ماتريس نرمي است. در محاسبات عددي، بد وضعي يك ماتريس را با جابه‌جايي سطرها و يا جايگزين كردن چند سطر، بهبود مي‌بخشند. در اين نوشته سعي بر اين است كه تغييرات فوق، قبل از تشكيل ماتريس نرمي، تشخيص داده شده و اعمال گردند. براي اين منظور از خصوصيات توپولوژيكي و جبري ساده در تحليل، به طور موثر استفاده مي‌گردد و اين امر با معرفي پايه چرخه‌هايي با خواص ويژه صورت مي‌پذيرد كه منجر به تشكيل ماتريس نرمي با شرايط موزوني شبه بهينه شده و در نتيجه خطاهاي محاسباتي به مقدار قابل توجهي كاهش مي‌يابد.

Abstract In addition to reducing the size and time of analyses, reduction of analytical errors is one of the most important considerations in ideal analysis of skeletal structures by computer. Appropriate matrixes with more zeros (sparse), well structure, and well condition are helpful for this aim. Therefore, an optimizing problem with multiple objectives will be considered. The objective of this research is reducing the analytical errors such as rounding errors in flexibility matrixes of skeletal structures by performing more constant and proper algorithm. These errors increase in special structures with unsuitable flexibility matrixes; the structures with different stiffnesses are one of the most prevalent examples for this case. Use of weak elements leads into high non-diagonal terms in flexibility matrix, which result in analytical errors. In numerical analysis, ill-condition of a matrix is soluble by movement or substitution of the rows; then specification and implementation of these changes before forming the flexibility matrix has been studied. By identifying cycle bases with specific qualities, simple typological and algebraic properties have been used basically in analyses for this purpose. In conclusion, stiffness matrixes with optimally condition number are obtainable and analytical errors reduce.