ارايه مدل غيرخطي جديد براي بررسي رفتار ارتعاشات عرضي تير ترك‌دار با ترك خستگي

A New Nonlinear Model for Flexural Vibration Analysis of a Cracked Beam with a Fatigue Crack

در اين پژوهش، مدل پيوسته ارايه شده توسط شن و پي‌ير براي بررسي رفتار غيرخطي ارتعاش عرضي تير اويلر- برنولي با ترك خستگي مورد بازنگري قرار گرفته و با اعمال فرضيات واقع‌ بينانه‌تري، براي ميدان‌هاي جابجايي و كرنش توابع جديدي پيشنهاد شده است. سپس با استفاده از اصل هو واشيزو معادله ديفرانسيل حركت استخراج شده است. اين معادله برخلاف معادله شن و پي‌ير، خود الحاق مي‌باشد. شكل مودهاي ارتعاشي تير ترك‌دار با ترك باز و بسته شونده با اعمال روش گالركين به‌دست آمده و سپس به منظور به‌دست آوردن قسمت زماني پاسخ تير با ترك خستگي، مدل جديد سفتي دوخطي براي هر شكل مود ارتعاشي ارايه گرديده است. به كمك اين مدل، معادله ديفرانسيل حاكم به شكل قابل حل به روش ليندست- پوانكاره نوشته شده است. حل تحليلي بيان مي‌كند كه پاسخ روش اغتشاشات از دو قسمت تشكيل شده است كه بخش اول سيستم خطي متناظر با سفتي برابر سفتي ميانگين تير در حالت‌هاي كاملاً باز و كاملاً بسته ترك بوده و بخش ديگر، جملات تصحيحي هستند كه اثرات غير خطي ناشي از تغيير در سفتي معادل را در پاسخ سيستم منظور مي‌كنند. با استفاده از تيوري ارايه شده مي‌توان به بررسي رفتار ارتعاشي تيرهاي ترك‌دار در تمامي شكل مودهاي ارتعاشي پرداخت. نتايج نشان مي‌دهد كه تغييرات فركانس‌هاي طبيعي براي ترك باز و بسته شونده كمتر از ترك باز مي‌باشد. صحت نتايج به دست آمده با استفاده از نتايج تجربي موجود در ادبيات فن به اثبات رسيده است. مقايسه نتايج نشان مي‌دهد كه مدل جديد ارايه شده با دقت مناسبي رفتار ارتعاشي تير ترك‌دار را به ازاي بازه گسترده‌اي از پارامترهاي ترك پيش‌بيني مي‌كند.

In this paper, the continuous model for vibration analysis of a cracked beam developed by Shen and Pierre is modified. For this end, by some realistic assumptions, new functions for displacement and stress fields are proposed. Then, the equation of motion of the cracked beam with breathing crack is obtained via the Hu-Washizu variational principle. The new obtained equation of motion is self-adjoint. Moreovers, by employing the Galerkin method, the modes shape of beam with a breathing crack are obtained. Then, in order to obtain the time response of the cracked beam, a new bilinear model is introdused for the stiffness corresponding to each mode. Using this model, the governing equation of motion is converted into the standard form which can be analyzed by Lindstedt-Poincar’ method. The results show that response obtained throught the perturbation metod (Lindstedt-Poincar method) is composed of two parts. The main part is the response of a system with the equivalent stiffness, whith is equal to the main value of the stiffness corresponding to the fully open and fully close crack cases. The remaining part of the response consistence of the correction terms, which reflects the effect of opening and closing the crack during vibration. The results show that for a given crack parameters, redaction in natural frequencies for a fatigue-breathing crack are smaller than the ones caused by open cracks. Also, the results have been validated by the experimental and theoretical data reported in the literature. There is a good agreement between the results obtained through the proposed method and those obtained from the reported experimental data.