گزاره‌هاي هميشه‌صادق نزد خونجي در منطق مرتبه دوم

Khunaji’s Tautologies in Second-Order Logic

افضل‌الدين خونجي، براي نخستين بار در تاريخ منطق، در ميان گزاره‌هاي حقيقيه و خارجيه، گزاره‌هاي هميشه‌صادق و گزاره‌هاي هميشه‌كاذب را يافته است. اين گزاره‌ها پيش از اين در منطق مرتبه اول صورت‌بندي شده و مورد بررسي قرار گرفته‌اند و نشان داده شده است كه صدق هميشگي اين گزاره‌ها نيازمند پيش‌فرض «وجود فرضي معدومات» است. در اين مقاله، اين گزاره‌ها را در منطق مرتبه دوم بررسي كرده و نشان داده‌ايم كه در اين منطق، نيازي به پيش‌فرض يادشده نيست و گزاره‌هاي هميشه‌صادق خونجي بدون هر گونه پيش‌فرضي در منطق مرتبه دوم به عنوان قضيه اثبات‌پذيرند. اما تحليل اين گزاره‌ها در منطق مرتبه دوم نيز كاستي‌هاي خود را دارد. براي نمونه، صورت‌بندي موجبه جزييه در گزاره‌هاي خارجيه الطرفين بسياري از گزاره‌هاي كاذب را صادق مي‌سازد. اين نشان مي‌دهد كه تحليل اين گزاره‌ها، چه در منطق مرتبه اول و چه در منطق مرتبه دوم، كاستي‌هايي دارد و نيازمند زدودن است.

For the first time in the history of logic, Afzal al-Din al-Khunaji has found tautologies and contradictories among the verity and actuality propositions. These have been formalized and investigated in First-Order Logic and it has been shown that their perpetual truth requires the assumption of ‘the presupposed existence of non-existence.’ In this paper, I investigate the tautologies in Second-Order Logic and show that there is no need to the aforementioned assumption, and they can be proved as theorems without any assumption in Second-Order Logic. But, the analysis of these tautologies in Second-Order Logic has its shortcomings; for example, the formalization of actuality I-propositions in many cases is contradictory. This shows that the analysis of the tautologies, whether in First- or Second-Order Logic, has shortcomings, which need to be removed.