كاربرد روش تبديل ديفرانسيلي در تعيين فركانس هاي طبيعي تير اولر-برنولي با پهناي متغير و شرايط تكيه گاهي مختلف

Application of differential transform method to determine natural frequencies of variable width Euler-Bernoulli beam with various support conditions

در اين مقاله روش تبديل ديفرانسيلي براي تعيين فركانس هاي طبيعي ارتعاشات تير ايزوتروپ اولر- برنولي با پهناي متغير به كار گرفته شده است. پهناي تير بصورت تابع نمايي با ضرايب رشد دلخواه تغيير مي كند. پس از استخراج و بي بعدسازي معادله ديفرانسيل حاكم بر سيستم، بر مبناي روش تفكيك متغيرها، حل تحليلي مسيله و معادله فركانسي براي شرايط تكيه گاهي مختلف تعيين شده است. سپس با حل معادله تابع مكان به كمك روش تبديل ديفرانسيلي، فركانس هاي طبيعي سيستم براي ضرايب رشد متفاوت و شرايط مرزي مختلف بدست آمده است. شرايط مرزي بصورت ساده- ساده(SS)، دوسرگيردار(CC)، گيردار- ساده(CS)، آزاد- آزاد(FF)، گيردار- آزاد(CF) و ساده- آزاد(SF)، در نظر گرفته شده است. مقايسه فركانس هاي طبيعي بدست آمده از روش تبديل ديفرانسيلي با حل تحليلي، بيانگر دقت بالاي روش تبديل ديفرانسيلي در تخمين فركانس هاي طبيعي سيستم ارتعاشي، بخصوص در مدهاي پايين، مي باشد. از آنجاييكه اين روش بر مبناي بسط سري تيلور پاسخ است، براي بدست آوردن فركانس هاي طبيعي دقيق تر و همچنين فركانس مدهاي بالاتر، تعداد جملات بيشتري از سري مورد نياز مي باشد. نتايج نشان مي دهد كه به ازاي يك مقدار ثابت N، درحالت كلي، قدر مطلق اختلاف فركانس هاي طبيعي بدست آمده از روش تبديل ديفرانسيلي با مقدار حل دقيق، با افزايش شماره مد، افزايش مي يابد.

In this paper, differential transform method (DTM) has been used to determine natural frequencies of free vibration of variable width Euler- Bernoulli isotropic beam. The width of beam varies exponentially with arbitrary non-uniformity parameter. After extracting and nondimensionalization, the governing partial differential equation discretized to two ordinary differential equations in terms of both spatial coordinate and time based on the separation of variables method. Then, for different non-uniformity parameters and boundary conditions, natural frequencies of system have been obtained by using analytical methods and DTM. Boundary conditions are considered as: simple- simple (SS), clamped- clamped (CC), clamped- Simple (CS), free- free (FF), clamped- free (CF) and simple- free(SF). Comparison of natural frequencies obtained from DTM with analytical solution shows that DTM has a good accuracy in determination of natural frequencies, especially in the lower modes. Since that this method is based on Taylor’s series expansion, more accurate natural frequencies and also natural frequencies of higher modes can be obtain by increasing series size. Results show that for a constant series size, difference between the natural frequencies obtained from DTM with the exact solution increase totally by increasing of mode number.