كاربرد روش چند شبكه اي براي حل دستگاه معادلات خطي در تحليل هيدروليكي شبكه لوله‌ها

Application of Multi-Grid Method for Solving System of Linear Equations in Hydraulic Analysis of Pipe Networks

الگوريتم هاي گراديان از معروف ترين روش هاي تحليل شبكه لوله ها به شمار ميروند. حل دستگاه معادله خطي، بيشترين هزينه محاسباتي را در روش هاي گراديان داراست بخصوص براي شبكه هاي بسيار بزرگ كه بيش از هزاران متغير داشته باشند. ماتريس ژاكوبين در روش گراديان بصورت يك ماتريس مربعي نواري است كه درايه هاي آن تابع ميزان جريان و مقاومت لوله ميباشند و قابل حل بوسيله روش چند شبكهاي است. هم اكنون در نرم افزارهاي WATERGEMS وEPANET از روش چولسكي اسپارس به همراه مرتب سازي گرهها براي حل اين دستگاه معادلات خطي استفاده ميگردد. در اين مقاله به كاربرد روش هاي چند شبكه اي پيش شرط ساز AMG-CG3 و AGMG 4 در حل معادلات خطي شده شبكه لوله ها پرداخته و با سريع ترين روش هاي تكراري و مستقيم حل دستگاه معادلات خطي مقايسه ميگردند. نتايج نشان ميدهد كه در تحليل شبكه هاي آبرساني حلقه اي، روش هاي چند شبكه اي AGMGو AMG-CG بهتر از بقيه بوده و در شبكه هاي حلقه اي بسيار بزرگ روش AGMG بهترين روش حل دستگاه معادلات خطي در تحليل هيدروليكي شبكه لوله ها است.

The gradient-based algorithms are widely used for hydraulic analysis of pipe networks. Solving system of linear equations has the most computational cost in the gradient-based methods particularly for large networks with more than hundreds of variables. The Jacobian matrix form in the gradient-based methods is square and banded. Elements of this matrix are function of flow rate and hydraulic resistance of pipe. The sparse Cholesky method with node reordering is commonly applied for solving system of linear equations in the EPANET and WATERGEMS softwares. As an alternative, the Jacobian matrix can be solved using the Multi-Grid method. This paper studies the application of pre-conditioner methods such as AMG-CG and AGMG for solving the Jacobian matrix and compares its results with other iterative and direct solvers. According to the results, AGMG demonstrates better performance than AMG-CG in all studied cases and it is the best method for solving system of linear equations in hydraulic analysis of huge pipe networks.