كنترل بهينه سيستم‌هاي سوييچ شونده خطي ناخودگردان: رهيافت نامساوي ماتريسي خطي

Optimal Control of Non-Autonomous Switched Linear Systems: Linear Matrix Inequality Approach

چكيده: سيستم‌هاي سوييچ شونده خطي كلاس مهمي از سيستم‌هاي سوييچ شونده هستند كه بسياري از سيستم‌هاي غيرخطي را مي‌توان توسط آن‌ها مدل كرد. در اين مقاله كنترل بهينه اين سيستم‌ها به همراه اثبات پايداري و مقاوم بودن در برابر عدم قطعيت وارده بر سيستم بررسي شده است. متغيرهاي طراحي، ورودي‌هاي كنترل پيوسته و سيگنال سوييچ گسسته اي هستند كه بايد به گونه‌اي طراحي گردند كه يك تابع هزينه معين حداقل گردد. در روش ارايه شده ابتدا به هر يك از زيرسيستم‌ها يك تابع لياپانوف مربعي مجهول اختصاص داده مي‌شود. اين توابع لياپانوف بايستي در يك دستگاه نامعادلات صدق كنند تا شرايط رسيدن به كران پايين تابع هزينه حاصل گردد. براي آنكه پايداري نمايي كل سيستم سوييچ شونده تضمين گردد اين توابع علاوه بر شرايط مذكور بايد در شرايط قضيه پايداري نمايي ارايه شده نيز صدق نمايند. در ادامه و براي به دست آوردن توابع لياپانوف هر زير سيستم، قانون كنترل، قانون سوييچ بين زير سيستم‌ها و كران پايين تابع هزينه، دو دسته شرايط بيان شده به يك دسته نامعادلات ماتريسي خطي تبديل مي‌گردند كه بايستي حل شوند. علاوه بر اين، بهينگي كران پايين تابع هزينه نيز طبق قضيه اي بيان و اثبات مي‌گردد. در انتها، مقاوم بودن رهيافت ارايه شده نسبت به عدم قطعيت‌هاي متغير با زمان با نرم محدود وارده بر ديناميك‌هاي هر زير سيستم نيز نشان داده خواهد شد. كارآيي روش پيشنهادي به كمك ارايه چند مثال بيان مي‌گردد.

Abstract: Switched linear system is an important class of switched systems which can model a wide range of nonlinear systems. In this paper, optimal control, stability and robustness of these systems are discussed. Continuous control inputs and discrete switching signal are the design variables to obtain the lower bound of a given cost function. In the proposed method, first, we assign a quadratic Lyapunov function to each subsystem such that must satisfy a set of inequalities to reach the lower bound of the cost. Second, to guarantee the exponential stability of overall system, these quadratic functions also must satisfy the conditions of presented exponential stability theorem. To obtain Lyapunov functions, state-feedback control inputs, switching signal and lower bound of the cost function, two sets of obtained inequalities are converted to a set of Linear Matrix Inequalities (LMIs) that must be solved. Moreover, optimality of the lower bound is proved. Finally, robustness of presented method against norm bounded time-varying uncertainties is shown. Several examples illustrate the efficiency of presented method.