تحليل ارتعاشات واداشته غير‌خطي نانو‌تيرهاي ساخته شده از مواد هدفمند در محيط‌هاي حرارتي با در‌نظر گرفتن اثرات تنش سطحي و غير‌موضعي

Nonlinear forced vibration analysis of functionally graded nanobeams in thermal environments by considering surface stress and nonlocal effects

در اين پژوهش، براي تحليل ارتعاشات واداشته غيرخطي نانوتير هاي ساخته شده از مواد هدفمند در محيط حرارتي با در‌نظر گرفتن اثرات تنش سطحي و تيوري الاستيسيته غيرموضعي، يك روش حل دقيق پيشنهاد شده است. فرض مي‌شود كه خواص فيزيكي نانوتير هاي ساخته شده از مواد هدفمند بر مبناي قانون پخش تواني در راستاي ضخامت تغيير كنند. معادله حركت غيرخطي و شرايط مرزي متناظر، با استفاده از اصل هميلتون بر مبناي تيوري تير اويلر-برنولي استخراج مي‌شود. با استفاده از تيوري‌هاي الاستيسيته گورتين-مورداك و ارينگن، به‌ترتيب اثرات تنش سطحي و اثرات غيرموضعي در معادلات به‌دست آمده به‌كار گرفته شدند. به‌منظور حل مسيله نيز، ابتدا روش گلركين براي كاهش معادله ديفرانسيل حاكم غيرخطي با مشتقات جزيي به يك معادله ديفرانسيل غيرخطي معمولي به‌كار گرفته مي‌شود. اين معادله جديد با استفاده از روش اغتشاشات مقياس‌هاي چندگانه به‌صورت تحليلي حل مي‌شود. در قسمت نتايج، اثرات پارامترهاي مختلف شامل شاخص قانون تواني، تنش سطحي، پارامتر غيرموضعي، شرايط مرزي و تغييرات دما بر پاسخ ارتعاشات واداشته غيرخطي نانوتيرها مورد بررسي قرار مي‌گيرد. همچنين، نتايج تيوري‌هاي الاستيسيته كلاسيك، گورتين-مورداك و ارينگن با يكديگر مقايسه مي‌شوند. نشان داده مي‌شود كه با كاهش ضخامت، اثر تنش سطحي سبب تعديل ويژگي غيرخطي سخت شوندگي نانوتير مي‌شود و اين تاثير در ضخامت‌هاي پايين بسيار مشهود است. همچنين، مي‌توان دريافت كه با افزايش پارامتر غيرموضعي، رفتار غيرخطي سخت شوندگي نانوتير تشديد مي‌شود.

In this investigation, an exact solution is proposed for the nonlinear forced vibration analysis of nanobeams made of functionally graded materials (FGMs) in thermal environment by considering the effects of surface stress and nonlocal elasticity theory. The physical properties of FGM nanobeams are assumed to vary through the thickness direction on the basis of the power law distribution. The geometrically nonlinear equations of motion and corresponding boundary conditions are derived using Hamilton’s principle on the basis of the Euler-Bernoulli beam theory. Using the Gurtin-Murdoch and Eringen elasticity theories, the surface stress and nonlocal effects are taken into account in the obtained equations, respectively. For the solution purpose, first, the Galerkin procedure is employed in order to reduce the nonlinear partial differential governing equation into a nonlinear ordinary differential equation. This new equation is solved analytically by the multiple scales perturbation method. In the results section, the influences of different parameters including power law index, surface stress, nonlocal parameter, boundary conditions and temperature changes on the nonlinear forced vibration response of nanobeams are investigated. Also, comparisons are made between the results obtained from the classical, Gurtin-Murdoch and Eringen elasticity theories. It is shown that as the thickness decreases, the surface stress effect moderates the hardening-type nonlinear behavior of nanobeams. This effect is more prominent at low magnitudes of thickness. Moreover, it is shown that by increasing the nonlocal parameter, the hardening-type response of nanobeams is intensified.