تحليل پايداري سيستم‌هاي تصادفي قطعه قطعه خطي و بررسي آن با معادلات فوكر پلانك تعميم يافته

Stability Analysis for Stochastic Piecewise Affine Systems with Verification via Generalized Fokker Planck Equations

در اين مقاله به موضوع پايداري سيستم‌هاي تصادفي قطعه قطعه هموار كه زير مجموعه‌اي از سيستم‌هاي هيبريد تصادفي هستند، پرداخته مي‌شود. در اينجا سيگنال‌هاي نويز در زيرسيستم‌هاي به صورت جمعي در نظر گرفته مي‌شود كه دامنه آن‌ها در نقطه تعادل سيستم صفر نمي‌شود. اين نويزها مانع پايداري نمايي تصادفي سيستم‌هاي هيبريد تصادفي مي‌شوند كه اين نوع پايداري نمايي به صورت گسترده در مقالات مورد بحث قرار گرفته‌ است. همچنين پرش‌هاي بين زيرسيستم‌ها در اين دسته از سيستم‌ها وابسته به متغيرهاي پيوسته سيستم بوده كه فرآيند بررسي پايداري را پيچيده‌تر مي‌كند. قضيه ارايه شده با در نظر گرفتن نويز جمعي و پرش‌هاي وابسته به متغيرهاي حالت، براي سيستم‌هاي تصادفي قطعه‌قطعه غيرخطي، حد بالايي براي ممان دوم تصادفي يا واريانس متغيرهاي حالت سيستم به ارايه مي دهد و همچنين تضمين مي‌كند كه تابع چگالي احتمال پاسخ يك سيستم پايدار به حالت پايا مي‌رسد. سپس مساله براي حالت خطي در اين دسته از سيستم‌ها بررسي شده، شرايط پايداري با نامساوي ماتريسي خطي ارايه مي شود، كه در نتيجه آن حد بالايي روي كوواريانس متغيرهاي حالت به دست مي آيد. سپس براي بررسي درستي قضيه پيشنهاد شده، حل معادلات فوكر پلانك كه تحول تابع چگالي احتمال سيستم را مشخص مي‌كند مورد مطالعه قرار مي گيرد. براي مشكل ناشي از پرش‌هاي تصادفي در شرايط مرزي اين دسته از سيستم‌ها، راه حل مناسب و ابتكاري ارايه شده است، و با روش حجم محدود معادلات با مشتقات پاره‌اي مذكور در يك مثال حل شده‌ تا صحت نتايج قضيه به صورت عددي بررسي شوند.

In this article, stability analysis for Stochastic Piecewise Affine Systems which are a subclass of stochastic hybrid systems is investigated. Here, additive noise signals are considered that does not vanish at equilibrium points. These noises will prohibit the exponential stochastic stability discussed widely in literature. Also, the jumps between the subsystems in this class of stochastic hybrid systems are state-dependent which make stability analysis more complex. The presented theorem considering both additive noise and state-dependent jumps, gives upper bounds for the second stochastic moment or variance of Stochastic Piecewise Nonlinear Systems trajectories and guarantees that stable systems have a steady state probability density function. Then, linear case of such systems is studied where the stability criterion is obtained in terms of Linear Matrix Inequality (LMI) and an upper bound on state covariance is obtained for them. Next, to validate the proposed theorem, solving the Fokker Plank equations which describes the evolution of probability density function, is addressed. A solution for the problem of boundary conditions that arises from jumps in this class of systems is given and then with finite volume method the corresponding partial differential equations are solved for a case study to check the results of the presented theorem numerically.