كنترل گسترده معادله برگر غيرخطي

Distributed control of nonlinear Burger’s equation

در اين مقاله، روشي براي كنترل گسترده معادله برگر غيرخطي پيشنهاد شده است. در اين روش، ابتدا معادله مشتق جزيي غيرخطي حاكم بر سيستم با استفاده از روش خطي‌سازي تاكاگي- ساجينو به دو معادله مشتق جزيي خطي تبديل مي‌شود؛ به‌گونه‌اي كه تركيب فازي آن‌ها به‌صورت دقيق معادله غيرخطي اصلي را بازيابي مي‌كند. اين فرآيند به‌منظور پيش‌گيري از پديده اختلال فركانسي يا آلياسينگ صورت مي‌پذيرد. سپس هركدام از اين معادلات با به‌كار بردن تبديل فوريه سريع به مجموعه‌اي از معادلات مشتق معمولي تبديل مي‌شود؛ بنابراين مي‌توان گفت كه تركيب دو روش تاكاگي- ساجينو و تبديل فوريه سريع، به دو معادله مشتق معمولي براي هر نقطه شبكه‌اي منجر مي‌شود. در اين راستا، براي پايدارسازي ديناميك هر كدام از اين نقاط، از روش جبران سازي توزيع‌يافته موازي استفاده مي‌شود. پايداري روش كنترلي پيشنهادي با استفاده از قضيه دوم لياپانوف براي سيستم‌هاي فازي اثبات‌شده و بر آن اساس بهره‌هاي كنترلي پايدارساز طراحي شده است. شبيه‌سازي‌هاي عددي كارايي روش پيشنهادي نسبت به پژوهش‌هاي همانند را نشان مي‌دهد، كه از آن جمله مي‌توان به مشخصه‌هاي بهتر پاسخ گذرا، خطاي حالت ماندگار كوچك و مقاوم بودن نسبي آن در مقابل نويزهاي اندازه‌گيري اشاره كرد.

In this paper, a method for distributed control of nonlinear Burger’s equation is proposed. In this method, first the nonlinear partial differential equation governing the system is transformed into two linear partial differntial equations using the Takagi-Sugeno linearization; such that their fuzzy composition exactly recovers the original nonlinear equation. This is done to alleviate the aliasing phenomenon occuring in nonlinear equations. Then, each of the two linear equations is converted to a set of ordinary differential equations using the fast Fourier transform (FFT). Thus, the combination of Takagi-Sugeno method and FFT technique leads to two ordinary differential equation for each grid point. For the stabilization of the dynamics of each grid point, the use is made of the parallel distributed compensation method. The stability of the proposed control method is proved using the second Lyapunov theorem for fuzzy systems. In order to solve the nonlinear Burger equation, a combination of FFT and finite difference methodologies is implemented. Simulation studies show the performance of the proposed method, for example the smaller settling time and overshoot and also its relatively robustness with respect to the measurement noises.