پاسخ تحليلي تنش و تغيير مكان در نيم فضاي ناهمگن متقارن محوري تحت اثر بار متمركز عمود بر سطح

Analytical solution of stress and displacement in axisymmetric inhomogeneous half space under normal concentrated surface loading

در اين پژوهش يك راه حل تحليلي براي يك نيم فضاي ناهمگن مدرج تابعي كه در آن خصوصيات ماده به‌صورت تابع تواني با شعاع در مختصات كروي تغيير مي‌كند و تحت اثر بار متمركز عمود بر سطح قر ار دارد ارايه مي‌گردد. مدول يانگ متغير در نظر گرفته شده است، ولي نسبت پواسون ثابت باقي مي‌ماند. مسيله با استفاده از روش الاستيسيته و اين نكته كليدي كه توابع تنش با مجذور شعاع در مختصات كروي، نسبت معكوس دارد، به‌صورت تحليلي حل مي‌شود. معادلات ديفرانسيل حاكم شامل روابط اساسي تعادل، قانون هوك و روابط كرنش- تغيير مكان به همراه معادلات شرايط مرزي حاكم بر مسيله، به‌طور دقيق در مختصات كروي حل شده و ميدان‌هاي تنش و تغييرمكان محاسبه مي‌شوند. نتايج محاسبه شده مي‌تواند به حل مربوط به نيم فضاي همگن كاهش پيدا كند. در پايان نيز با ارايه يك مثال توزيع تنش و تغييرمكان در يك نيم فضاي ناهمگن مدرج تابعي كه مدول يانگ آن به‌صورت تابع تواني با شعاع در مختصات كروي متغير است و تحت اثر بار متمركز عمود بر سطح قرار دارد، با رسم نمودارهاي مربوطه در مختصات كروي و استوانه‌اي مورد بررسي قرار مي‌گيرد و اثر پارامتر ناهمگني در توزيع اين تنش‌ها و تغيير مكان‌ها‌ به‌طور كامل مورد بحث قرار مي‌گيرد. مشخص مي‌شود كه پارامتر ناهمگني تاثير قابل توجهي در توزيع ميدان تنش‌ و تغييرمكان‌ دارد.

In this paper, an analytical solution for stress and displacement in an inhomogeneous half space under the action of concentrated normal surface loading is investigated. The Young’s modulus is considered to vary with the spherical radius R in a power law form of order n, while the Poisson’s ratio is taken to be constant. The problem is solved analytically using an elasticity approach and considering a semi-inverse method in which, based on equilibrium equations on the surface of an arbitrary hemisphere in the half-space and centered at the point of application of load, some stress components are assumed to be proportional to 1/R2. It is then shown that this assumption is valid and all stress components in this axisymmetric problem are proportional to 1/R2, while displacements are proportional to 1/R(n+1). and their variation with azimuthal coordinate ? is in the form of a special function called hyper-geometric function. Illustrative examples are presented which show variations of stresses and displacements in both R and ? directions. It is seen that the inhomogeneity parameter has a significant effect on both of these field variables.