تحليل ارتعاشات آزاد سه بعدي نانوورق مستطيلي بر اساس تيوري الاستيسيته غيرمحلي

Three-dimensional free vibration analysis of rectangular nanoplates based on nonlocal theory of elasticity

در روش‌هاي متداول ريتز و گلركين بر اساس تيوري الاستيسيته محلي، معمولاً از چند جمله اي به عنوان توابع تقريب استفاده مي‌شود. اما اين روش‌ها براي استفاده در تحليل غيرمحلي سه بعدي مناسب نيستند. در مطالعه حاضر براي غلبه بر اين مشكل نوعي راهبرد باقي‌مانده وزني، با توابع مثلثاتي به عنوان توابع تقريب، ارايه شده است. با انتخاب توابع تقريب مناسب تاثير تكيه‌گاه‌هاي مختلف در رفتار فركانسي نانو ورق بررسي شده است. اعتبار سنجي فرمول‌بندي حاضر از طريق مقايسه نتايج عددي حاصل با نتايج ارايه شده در مقالات انجام پذيرفته است. طبق نتايج عددي حاصل ، رفتار فركانسي نانو ورق قوياً متاثر از پارامتر غير محلي بوده و اين اثر در مودهاي ارتعاشي بالا به‌دليل كوچك بودن طول موج مود از اهميت بالايي برخوردار است. نتايج اين تحقيق نشان ميدهد كه تفاوت فاحشي بين رفتار جواب مدل سه بعدي نانوورق و مدل دو بعدي آن وجود دارد و همچنين اختلاف پاسخ تحليل دو و سه بعدي در اين حد در الاستيسيته كلاسيك بارز نيست. همچنين تاثيرات نسبت طول به ضخامت، نسبت ابعادي، پارامتر غيرمحلي، و شرايط مرزي مختلف بر فركانس طبيعي پايه نانوورق مورد مطالعه قرار گرفته است. اين حل مرجع ميتواند براي تخمين دقت تيوريهاي دو بعدي مرسوم مورد استفاده قرار گيرد.

Conventional Ritz and Galerkin methods based on local theory of elasticity employ polynomials as their approximating functions, however these methods are not convenient to use in three-dimensional nonlocal analysis. In the present study, to conquer this difficulty, a type of weighted residual approach with a set of trigonometric approximating functions was developed. By using appropriate trigonometric approximating functions it is possible to consider the effect of various edges boundary conditions on frequency behavior of nanoplate. Validation of present formulation is carried out by comparing numerical result with the published results. It is concluded that the effect of nonlocal parameter on natural frequencies is significant, especially in higher modes due to the lower wavelength of the mode. The research shows that in nonlocal elasticity there are distinct discrepancies between behaviors of two and three-dimensional results. In addition, the difference between the two- and three-dimensional results in local elasticity is not as noticeable as in nonlocal elasticity. Furthermore, the effects of length to thickness ratio, aspect ratio, nonlocal parameter and different boundary conditions on fundamental natural frequency of nanoplates were studied. This benchmark solution can be used to assess the accuracy of conventional two-dimensional theories.