كاربرد روش متعامدسازي گرام-اشميت در كمي سازي عدم قطعيت مسايل ديناميك سيالات محاسباتي با توابع توزيع احتمال دلخواه

Application of Gram-Schmidt orthogonalization method in uncertainty quantification of computational fluid dynamics problems with arbitrary probability distribution functions

در مقاله حاضر كمي‌سازي عدم قطعيت در ديناميك سيالات محاسباتي با استفاده از بسط چند جمله‌اي آشوب و روش متعامد سازي گرام-اشميت مورد بررسي قرار گرفته است. روش گرام- اشميت در مطالعات پيشين براي توليد چند جمله‌اي‌هاي متعامد بسط چند جمله‌اي آشوب در روش تصوير مورد استفاده قرار گرفته است. براي اولين بار در اين مطالعه از روش متعامدسازي گرام-اشميت براي توليد چند جمله‌اي‌هاي متعامد بسط چند جمله‌اي آشوب در روش رگرسيون استفاده شده است. براي اعتبار بخشي به كد عددي توسعه داده شده ابتدا چند جمله‌اي‌هاي گرام-اشميت خروجي كد عددي براي توابع توزيع احتمال گاوسي و يكنواخت با چند جمله‌اي‌هاي متناظر اَسكي مقايسه شدند. سپس روش عددي توسعه يافته با انجام آناليز عدم قطعيت بر روي يك تابع تحليلي كلاسيك و مقايسه نتايج عددي و تحليلي صحه سنجي گرديد. در ادامه مسيله انتقال حرارت تصادفي در يك كانال شيار دار مورد بررسي قرار گرفت. متغيرهاي سرعت ورودي، دماي ديوار داغ و رسانايي سيال با توابع توزيع احتمال دلخواه به عنوان پارامترهاي تصادفي مسيله در نظر گرفته شد. با جفت كردن كد عددي توسعه داده شده با يك حلگر ديناميك سيالات محاسباتي اين مسيله كمي‌سازي عدم قطعيت مورد تحليل قرار گرفت. براي اعتبار بخشي به نتايج يك شبيه‌سازي مونته كارلو با تعداد 2000 نمونه تصادفي نيز انجام گرديد. نتايج حاصل نشان‌گر تطابق بسيار خوب نتايج بسط چند جمله‌اي آشوب گرام-اشميت و مونته-كارلو مي‌باشد. همچنين با مطالعه انديس‌هاي حساسيت سوبول ميزان تاثير هر يك از پارامترهاي تصادفي ورودي بر نتايج مورد بررسي قرار گرفت.

In the present paper, nondeterministic CFD has been performed using polynomial chaos expansion and Gram-Schmidt orthogonalization method. The Gram-Schmidt method has been used in the literature for constructing orthogonal basis of polynomial chaos expansion in the projection method. In the present study, for the first time the Gram-Schmidt method is used in regression method. For the purpose of code verification, the output numerical basis of code for uniform and Gaussian probability distribution functions is compared to their corresponding analytical basis. The numerical method is further validated using a classical challenging test function. Comparison of numerical and analytical statistics shows that the developed numerical method is able to return reliable results for the statistical quantities of interest. Subsequently, the problem of stochastic heat transfer in a grooved channel was investigated. The inlet velocity, hot wall temperature and fluid thermal conductivity were considered uncertain with arbitrary probability distribution functions. The UQ analysis was performed by coupling the UQ code with a CFD code. The validity of numerical results was evaluated using a Monte-Carlo simulation with 2000 LHS samples. Comparison of polynomial chaos expansion and Monte-Carlo simulation results reveals an acceptable agreement. In addition, a sensitivity analysis was carried out using Sobol indices and sensitivity of results on each input uncertain parameter was studied.