آناليز ارتعاشات آزاد و واداشته‌ي تير اويلر-برنولي ترك‌دار با بهره‌گيري از روش المان محدود طيفي

Free and Force Vibration Analysis of Cracked Euler-Bernoulli Beam with Spectral Finite Element Method

در اين مقاله، فرمول بندي روش المان محدود طيفي و حل آن براي آناليز ارتعاشات آزاد و واداشته ي تير اويلر-برنولي ترك دار بيان مي‌شود. فرمول بندي الگوريتم المان محدود طيفي، در بردارنده استخراج معادله هاي ديفرانسيل پاره اي حركت، ميدان جابه جايي طيفي، تابع هاي شكل ديناميكي و ماتريس سختي ديناميكي است. تابع هاي شكل ديناميكي در حوزه فركانس، از حل دقيق معادله هاي موج حاكم بر سيستم به-دست مي آيند. تير ترك دار به دو بخش يا دو تير جداگانه تقسيم مي شود كه با يك فنر پيچشي به هم متصل مي‌شوند و بر اين اساس، ماتريس سختي ديناميكي در حوزه ي فركانس براي تير اويلر-برنولي ترك دار به دست مي آيد. با در نظر گرفتن ارتعاش آزاد تير، فركانس هاي طبيعي تير ترك دار براي شرط هاي مرزي گوناگون به دست مي آيند. در روش المان محدود طيفي، امكان پذير است كه كل طول تير با دو المان طيفي مدل سازي شود، در حالي كه در روش المان محدود كلاسيك، براي دست يابي به دقت مناسب، اين امكان ميسر نيست. دقت پاسخ هاي به دست آمده از روش المان محدود طيفي، با دقت پاسخ هاي روش المان محدود كلاسيك يا حل هاي تحليلي مقايسه مي شوند. نتيجه هاي حاصل از روش المان محدود طيفي، نشانگر برتري اين روش در كاهش تعداد المان ها و افزايش دقت، در مقايسه با روش المان محدود كلاسيك است.

In this article, a spectral finite element (SFE) formulation and its solution are described for free and force vibrations of cracked Euler-Bernoulli beam. The formulation based on SFE algorithm includes deriving partial differential equations of motion, spectral displacement field, dynamic shape functions, and dynamic stiffness matrix. Frequency-domain dynamic shape functions are derived from an exact solution of governing wave equations. The cracked beam with an open crack is modeled as two segments connected by a massless rotational spring at the crack position and frequency-domain dynamic stiffness matrix for cracked Euler-Bernoulli beam is extracted. By considering free vibration of the cracked beam, its natural frequencies are derived for different boundary conditions. In the SFE model, It is possible to represent the whole length of beam only by two spectral elements, while it may not be possible to do that in finite element (FE) model, for reaching the same order of accuracy. The accuracy of results obtained from SFE formulation is compared with that of either FE method or analytical formulations. The SFE results display remarkable superiority with respect to those of FE, for reducing the number of elements as well as increasing numerical accuracy.