طراحي مسير زمان بهينه براي مكانيزم چهار لينكي به روش غير مستقيم

Time optimal trajectory planning of four bar mechanism using indirect approach

مساله طراحي مسير زمان بهينه براي مكانيزم‌هاي حلقه بسته تاكنون به روش غير مستقيم حل نشده است. در اين مقاله اين مساله براي يك مكانيزم چهار لينكي در نظر گرفته مي‌شود و حل آن بر اساس حل غير مستقيم مساله كنترل بهينه ارايه مي‌شود. به اين منظور با استفاده از معادلات قيدي هولونوميك سيستم، مختصات‌هاي اضافي حذف مي‌شود و معادلات ديناميكي مكانيزم بر حسب تنها يك مختصات تعميم يافته استخراج مي‌گردد. سپس با استفاده از اصل مينيمم پونترياگن شرايط لازم بهينگي با توجه به محدوديت گشتاور اعمالي موتور بدست مي‌آيد. معادلات بدست آمده يك مساله مقدار مرزي را تشكيل مي‌دهند، كه با حل اين معادلات مي‌توان به جواب بهينه دست يافت. با روش غير مستقيم برخلاف روش‌هاي مستقيم كه يك حل تقريبي نتيجه مي‌دهند، مي‌توان يك حل دقيق بدست آورد. اما مشكل اصلي در روش غير مستقيم، حساس بودن حل به حدس اوليه است. اين مشكل براي مساله زمان بهينه كه جواب نهايي شديدا غير خطي و به صورت بنگ بنگ مي‌باشد، بسيار حاد‌تر مي‌شود. براي رفع اين مشكل الگوريتمي پيشنهاد شده است كه مساله زمان بهينه را مي‌توان با هر دقت خواسته شده‌اي محاسبه نمود و مساله تنها با يك حدس اوليه ساده صفر در شروع الگوريتم قابل حل است. از آنجا كه در مسير زمان بهينه تغيير ناگهاني كنترل رخ مي‌دهد، مقدار جرك بسيار افزايش مي‌يابد. براي رفع اين مشكل الگوريتم ديگري جهت محاسبه زمان كمينه با جرك محدود، ارايه شده است. در نهايت، شبيه سازي‌هاي انجام گرفته كارايي روش پيشنهادي در محاسبه مسير زمان بهينه را نشان مي‌دهد.

Time optimal trajectory planning of closed chain mechanisms has not been done by indirect method yet. In this paper, this problem is considered for a four bar mechanism and its solution is presented on the basis of the indirect solution of optimal control problem. To this end, the additional coordinates are omitted using the holonomic constraints, so the dynamic equation is obtained with respect to only one generalized coordinate. Then the necessary conditions for optimality are derived using Pontryaginʹs minimum principle by considering the constraint on the applied torque. The obtained equations lead to a two-point boundary value problem (BVP) the solution of which is the optimum answer. Unlike the direct methods that result in approximate solution, indirect method leads to an exact solution. But the main challenge in indirect method is solving the BVP. Solving this problem is sensitive to the initial guess. This problem is much more severe for time optimal problem which has a high nonlinear answer in bang-bang form. To overcome this problem an algorithm is proposed to solve the time optimal problem with any desired accuracy, and the initial solution can simply be zero at the start of the algorithm. But in the time optimal trajectory the large jerk occurs, due to control signals switching. In order to overcome this problem, another algorithm is presented to calculate the minimum time with bounded jerk. Finally, the simulation results show the performance of the proposed method in time optimal trajectory planning.