حل تحليلي و عددي معادله ي ديفرانسيل رسانش حالت پايا در صفحه مثلثي قايم الزاويه با شرايط مرزي دما ثابت

Analytical and Numerical Solution to Steady-State Differential Conduction Equation in a Right Triangular Plate with Constant-Temperature Boundary Conditions

اين مقاله در حالت عمومي، روش‌هاي رسيدن به حل تحليلي و دقيق معادلات ديفرانسيل رسانش با مشتقات جزيي حالت پايا و در نتيجه حصول دقيق تابع توزيع دما، در هندسه‌هاي نامنظم كه داراي مرز يا مرزهايي غير موازي با محورهاي مختصات در دستگاه دكارتي هستند (با انواع مختلف شرايط مرزي) را معرفي مي‌كند. براي رسيدن به اين هدف و وضوح بيشتر در بحث، در يك حالت خاص، صفحهاي با شكل مثلث قايم الزاويه، داراي راس قايمه واقع در مبدا به همراه شرايط مرزي دما ثابت و در حالت پايا، مد نظر واقع گشته و معادله رسانش حاكم بر آن به صورت تحليلي حل شده است. در حل تحليلي به كار برده شده، اهميت و قدرت متغيرهاي مختلط و كاربردهايي از آن، همچون تبديلات مختلط، به ويژه تبديل شوارتز – كريستوفل، به وضوح نمايان گشته است. در انتها، جهت اعتبار دهي به حل تحليلي انجام شده، مسيله با روش المان محدود در نرم افزار COMSOL Multiphysics 5.0 حل شده است و نتايج حاصل از آن، با نتايج حل تحليلي مقايسه شده‌اند كه وجود همخواني بين آن‌ها به صحت حل تحليلي اطمينان بخشيده است.

This paper presents, in general, the means to acquire the analytical and exact solutions to the steady-state partial differential conduction equation, and consequently, finds the exact distribution of temperature in irregular geometries with one or more edges unparalleled with the Cartesian axes (with various boundary conditions). In order to get to this goal and for clarify, one specific problem, i.e. a steady-state right triangular plate with the right angle on the origin and with constant-temperature boundary conditions is considered. In the analytical technique used, the importance and strength of complex variables and their applications such as complex transformations, especially the Schwarz–Christoffel transformation, is clearly visible. Finally, to validate the analytical solution acquired, the problem is solved using the finite element method in COMSOL Multi-physics 5.0. The results obtained are compared, and the correspondence confirms the analytical solution.