پاسخ تحليلي ارتعاش آزاد غيرخطي نانو ورق مستطيلي با شرايط مرزي مختلف با استفاده از تيوري غيرمحلي

Analytical Solution of Non-Linear Free Vibration of Thin Rectangular Plates with Various Boundary Conditions Based On Non-Local Theory

در اين مقاله، با استفاده از تيوري الاستيسيته غيرمحلي اثر مقياس كوچك بر روي ارتعاش آزاد غيرخطي نانو ورق نازك همگن مورد بررسي قرار گرفته است. فرمول‌بندي براساس تيوري ورق كلاسيك (مدل كيرشهف) انجام شده و مدل غيرخطي فون كارمن در روابط جابجايي كرنشي استفاده شده است. براي در نظر گرفتن مقياس كوچك و اثر غير خطي هندسي، معادلات ديفرانسيل حاكم بر اساس تيوري الاستيسيته غيرمحلي به همراه مدل هندسي فون كارمن استخراج و از اثر اينرسي چرخشي و تنش برشي چشم‌پوشي شده است. با وجود مرتبه سه غيرخطي، معادله دافينگ به كمك انتگرال بيضوي براي محاسبه فركانس‌هاي طبيعي حل شده است. همچنين بعضي پاسخ‌هاي تحليلي جابجايي عمودي به كمك توابع بيضوي ژاكوبي ارايه شده است. راندمان و دقت روش با مقايسه نتايج بدست آمده با مقالات در دسترس مورد بررسي قرار گرفته است. اثرات پارامترهاي مختلف بر روي ارتعاشات غيرخطي نانو ورق استخراج شده و همچنين احتمال وقوع پديده تشديد داخلي در نانو ورق مستطيلي مورد بررسي قرار گرفته است.

This article deals with the small-scale effect on the nonlinear free vibration of isotropic thin nano-plate using the nonlocal elasticity plate theory. The formulations are based on the Kirchhoffʹs plate theory, and von Karman-type nonlinearity is considered in strain displacement relations. To include the small scale and the geometrical nonlinearity effects, the governing differential equations are derived based on the nonlocal elasticity theory in conjunction with the von Karman geometrical model in which the effects of rotary inertia and transverse shear are neglected. With cubic non-linearities, Duffingʹs equation is solved by elliptic integral and natural frequencies are obtained. Also by means of Jacobi elliptic functions, some analytical solutions for deflection of plate are presented. The efficiency and accuracy of the method are demonstrated by comparing the developed result with those available in literature. The effects of various parameters on the nonlinear vibrations of nanoplates are presented. Occurrence probability of internal resonance in rectangular nanoplate is investigated