تحليل دقيق مايكرومكانيكي تنش در كامپوزيت تقويت شده با الياف بلند تحت بارگذاري كششي يكنواخت

Exact micromechanical stress analysis of long fiber composites under uniform tensile loading

در اين مقاله سعي بر اين است كه بر اساس يك روند نظام‌مند در حوزه‌ي تئوري الاستيسيته، براي مسئله‌ي مقدار مرزي المان حجمي معرف كامپوزيت الياف بلند تحت بارگذاري كشش يكنواخت، يك حل بسته‌ي دقيق ارايه شود. براي اين منظور المان حجمي معرف كامپوزيت‌هاي الياف بلند در نظر گرفته شد كه متشكل از دو استوانه‌ي هم‌مركز با استوانه‌ي دروني از جنس الياف و استوانه‌ي بيروني از جنس ماتريس است. بدين ترتيب مسئله‌ي مورد بررسي در اين پژوهش در حوزه‌ي مسائل متقارن محوري تئوري الاستيسيته قرار مي‌گيرد. با بهره‌گيري از تابع لاو براي مسائل متقارن محوري، دستگاه معادلات تعادل ناوير براي مولفه‌هاي ميدان جابجايي تبديل به يك معادله‌ي باي‌هارمونيك بر حسب تابع لاو مي‌شود. سپس يك عبارت جامع براي حل‌هاي جداپذير معادله‌ي باي‌هارمونيك در مختصات استوانه‌اي ارائه مي‌شود. در گام بعدي، عبارات مناسب از حل‌هاي جداپذير با الهام از شرايط مرزي و فيزيك مسئله انتخاب شده و يك حل پيشنهادي استخراج مي‌شود. در گام نهايي ثوابت مجهول موجود در حل پيشنهادي توسط شرايط مرزي به‌دست مي‌آيند. بدين ترتيب حل دقيق به‌دست آمده قادر به ارضاي تمامي معادلات ميداني تئوري الاستيسيته است. با استفاده از اين حل توزيع دقيق مولفه‌هاي ميدان تنش و جابجايي در المان حجمي معرف مشخص شده و برخي نتايج عددي براي آن ارايه مي‌گردد. بر اساس اين حل دقيق عبارتي براي مدول الاستيك طولي معادل كامپوزيت الياف بلند به‌دست مي‌آيد و با رابطه‌ي معروف قانون اختلاط مقايسه مي‌شود. اين مقايسه نشان مي‌دهد كه قانون اختلاط مي‌تواند تقريب مهندسي خوبي براي محاسبه‌ي مدول الاستيك طولي معادل باشد.

In this paper, based on a systematic procedure in the field of theory of elasticity, it is tried to establish an exact closed form solution for the problem of a long fiber composite representative volume element (RVE) under uniform tension loading condition. To this end, the RVE of long fiber composites is considered. The RVE is composed of two concentric cylinders where the inner and outer ones are of fiber and matrix materials, respectively. Consequently, this study deals with an axially symmetric problem of the theory of elasticity. Using the Love function for axisymmetric problems, the Navier equilibrium equations for displacement components are converted to a single biharmonic equation in terms of the Love function. Then, a general expression for the separable solutions of biharmonic equation in cylindrical coordinates is derived. Next, according to the boundary conditions and physical interpretations, appropriate terms from separable solutions are chosen and a solution is suggested. In the final step, the unknown constants in the suggested solution are computed by using the boundary conditions. The obtained exact solution satisfies the entire field equations of theory of elasticity. Using this solution, the exact distribution of stress and displacement field components of the RVE is determined and related numerical results are presented. Based on the exact solution, an expression for the equivalent longitudinal modulus of composite is obtained and compared with the well known rule of mixture formula. This comparison reveals that the rule of mixture can be a good engineering approximation for the equivalent longitudinal modulus.