مدل‌سازي محلي ميدان ثقل از طريق توابع پايه شعاعي و الگوريتم لونبرگ-ماركواردت بهبود يافته

On the regional gravity field modeling via Radial Basis Functions and modefied Levenberg-Marcoardet Algorithm

مدل‌سازي ميدان ثقل به صورت جهاني و محلي و با به كار‌گيري داده‌هاي ارتفاع سنجي ماهواره‌اي، هوابرد، زميني و يا تركيبي از مجموعه اين داده‌ها صورت مي‌گيرد. يكي از روش‌هاي مرسوم براي تقريب ميدان ثقل، استفاده از بسط توابع هارمونيك كروي است. به دليل مشخصه‌هاي جهاني توابع پايه هارمونيك كروي، تغييرات محلي كوچك منجر به تغيير در تمام ضرايب اين توابع مي‌شود و لذا اين توابع براي مدل‌سازي‌هاي محلي مناسب نيستند. براي حل اين مشكل، گروه‌هاي مختلفي از توابع پايه وجود دارد كه از آن جمله مي‌توان به توابع پايه شعاعي اشاره كرد. در مدل‌سازي ميدان ثقل با استفاده از توابع پايه شعاعي، آنومالي پتانسيل ثقل به صورت تركيبي خطي از تعدادي متناهي تابع پايه شعاعي نوشته مي‌شود و بنابراين هر تابعك خطي از آنومالي پتانسيل نظير آنومالي جاذبه يا نوسان جاذبه نيز مي‌تواند بر اساس توابع پايه شعاعي بيان شود. بدين ترتيب، كميت‌هاي قابل اندازه‌گيري ميدان ثقل زمين مي‌توانند به‌منظور تعيين پارامترهاي توابع پايه شعاعي در مدل‌سازي ميدان ثقل به كار روند. در اين تحقيق، سيستم معادلات مشاهداتي با استفاده از كرنل دو قطبي شعاعي و داده‌هاي آنومالي جاذبه هواي آزاد تشكيل شده و مقادير پارامترهاي مجهول مسيله شامل تعداد، مكان، عمق (يا پهناي باند) و ضرايب مقياس اين توابع پايه به روش كمترين مربعات به دست مي‌آيند. در واقع از الگوريتم لونبرگ- ماركواردت به عنوان يك روش پايدارسازي غيرخطي براي يافتن پارامترهاي توابع پايه شعاعي به صورت هم‌زمان استفاده مي‌شود. به منظور افزايش كارايي عددي اين الگوريتم، روشي جديد براي تعيين مقدار اوليه پارامتر پايدارسازي و به هنگام‌سازي آن ارايه مي‌شود. در نهايت، نتايج عددي حاصل از الگوريتم لونبرگ-ماركواردت بهبود يافته با حالت ساده آن مقايسه مي‌شود. با اعمال تغييرات پيشنهاد شده در اين الگوريتم، مجهولات مسيله در مدت زمان بسيار كوتاه و با تعداد تكرارهاي كم به دست مي‌آيند. علاوه بر اين، اعمال اين تغييرات مي‌تواند احتمال همگرايي جواب حاصل از اين روش به جواب مينيمم مطلق را افزايش دهد.

The gravity field modeling can be performed in global or local scales utilizing satellite, airborne, terrestrial gravity data or a combination of these observations. One of the common methods in gravity field approximation is to use Spherical Harmonic expansion. Due to the global characteristics of the Spherical Harmonic base functions, a small local signal variation can change all the coefficients in the expansion, and therefore, they are not a suitable choice for regional applications. In order to overcome this problem, there are several groups of base functions, including Radial Basis Functions (RBFs). In gravity field modeling using RBFs, the disturbing potential is represented by a linear combination of an infinite set of RBFs. Hence, any linear functional of the disturbing potential, such as gravity anomaly or gravity disturbance, can be also expressed based on the RBF expansion. Thus, measurable quantities of the Earthʹs gravity field can be utilized in order to determine the RBF parameters in gravimetric modeling. In this study, system of observation equations is set based on the Radial Multi-Poles of order 2 and free-air gravity anomalies and unknown parameters, including RBF centers, RBF bandwidths (or depths) and scaling coefficients, are determined using a least-squares method. In fact, the Levenberg-Marquardt algorithm is applied as a non-linear regularization method to simultaneously optimize all the RBF parameters. In order to enhance the numerical efficiency of this algorithm, a novel scheme is proposed to initialize and update the regularization parameter. Finally, numerical results obtained from the modified Levenberg-Marquardt algorithm are compared with the ones obtained from the simple form of this algorithm. Applying the proposed modifications to this algorithm, the unknown parameters are determined in a fast procedure and with a significant reduction in the number of iterations. Moreover, these modifications can increase the probability of convergence of the solution to the global minimum.