بهبود روش انتگرال گيري دقيق مرتبه اول براي تحليل ديناميكي سازه ها با معكوس سازي ماتريس حالت

Enhancement of Precise Integration Method for Dynamic Structural Analysis using Inversion of State Matrix

روش هاي عددي مرتبه دوم متعددي براي حل معادله تعادل ديناميكي سازه ها تا به حال پيشنهاد شده اند. پايداري مشروط، خطاي كشيدگي دوره تناوب، خطاي وجود فركانس هاي جعلي و وابستگي اين روش ها به اندازه گام زماني از مهمترين مشكلات اين روش ها هستند. از بين روش هاي مرتبه دوم، روش شتاب متوسط نيومارك علي رغم دارا بودن خطاي وجود فركانس هاي جعلي، به دليل پايداري نامشروط از بقيه روش ها كاربردي تر است. در سال هاي اخير روش هاي مرتبه اول زيادي براي غلبه بر مشكلات فوق پيشنهاد شده است. ليكن اين روش ها داراي مشكلات پايداري، دقت و خطاي معكوس ماتريس حالت هستند. اگر ماتريس حالت منفرد يا بدحالت باشد ، خطاهاي عددي در محاسبات وارد مي شود. هدف روش هاي مرتبه اول پيشنهاد شده بهبود پايداري، دقت و حذف اثر معكوس ماتريس حالت بوده است. ليكن اين روش ها داراي پايداري مشروط بوده و بررسي خطاها براي بارگذاري ديناميكي در آنها مسكوت مانده است. هدف اصلي اين مقاله، به كارگيري روش تجزيه ماتريس حالت براساس مقادير ويژه منفرد SVD براي اصلاح روش PIM است. با به كارگيري روش معكوس سازي SVD مشكل اين روش برطرف شده است. روش اصلاح شده در اين تحقيق به نام PIMS شناخته مي شود. همچنين، با روش پيشنهادي براي بارگذاري هاي مختلف خطاي پاسخ هاي ديناميكي بررسي شده است. نتايج نشان مي دهد كه روش ارائه شده PIMS پايدار بوده و در مقايسه با روش مرتبه دوم نيومارك و روش هاي مرتبه اول موجود از دقت بالاتري برخوردار است.

For solving the dynamic equilibrium equation of structures، several second-order numerical methods have so far been proposed. In these algorithms، conditional stability، period elongation، amplitude error، appearance of spurious frequencies and dependency of the algorithms to the time steps are the crucial problems. Among the numerical methods، Newmark average acceleration algorithm، regardless of existence of spurious frequencies، is very popular in the structural dynamics due to its unconditionally stability status of the method. Recently، several first-order methods have been introduced for resolving the accuracy and stability issues. However، in these methods stability، accuracy and error in inversion of the state matrix are known as major issues. When the state matrix became singular or ill conditioned، numerical errors will occure in the computational process. Many of the available first-order methods were to improve the stability and accuracy and also to remove the error of inversion. Even though the introduced methods are conditionally stable، no investigation on errors، occuring during dynamic loading، has been reported for them. The main purpose of this paper is to utilize a specific decomposition method based on Singular Value Decomposition (SVD) for modifying PIM algorithm. Using the SVD inversion technique، the singularity problem of the state matrix has been resolved. In this paper، the modified method is called PIMS. As well، by applying the developed method for dynamic loading، the error of responses has been investigated. The results show that PIMS algorithm is stable and، comparing with secoend order Newmark and other available first order methods، has more accuracy.