طراحي مدل رياضي زمانبندي امتحانات در دانشگاه و تحليل جوابهاي حاصل از آن

Designing Mathematical Model for Examinations Timetable in Universities and its Solutions Analysis

در اين پژوهش، بهينه سازي زمانبندي امتحانات پايان ترم دروس دانشگاهي، بر اساس يك مسئله واقعي شناسائي شده در يكي از دانشگاههاي كشور بررسي شده است. تابع هدفي كه براي مسئله تعريف شده است نسبت به آنچه كه تاكنون در ادبيات موضوع، مطرح شده، متفاوت است و به نحو موثرتري مي تواند هدف واقعي مسئله را بيان نمايد. براي تشكيل تابع هدف، مشابه با قانون كولن در الكتريسيته كه مي گويد ميان بارهاي همنام، نيروي دافعه وجود دارد نوعي نيروي دافعه ميان هر دو امتحان منظور شده است. چنانچه برآيند كلي نيروهاي دافعه ميان امتحانات، حداقل گردد جواب بهينه مسئله بدست مي آيد. مدل رياضي حاصل، برنامه ريزي غيرخطي با متغيرهاي صفر و يك است. تابع هدف آن شامل تعداد زيادي عبارت درجه دوم مي باشد. جواب بهينه مطلق اين مدل، فقط در اندازه هاي بسيار كوچك قابل شناسائي است. براي حل مدل در اندازه هاي متوسط و بزرگ، روشهائي را بر مبناي الگوريتم تبريد شبيه سازي شده و نيز الگوريتم رقابت استعماري تنظيم نموده ايم كه مي توانند در زمان قابل قبولي، جوابهاي نسبتاً خوبي را ارائه نمايند. نتايج عملي حاصل از اين مدل رياضي و شيوه هاي ارائه شده براي حل آن، در يكي از دانشگاههاي كشور در طي ترمهاي متمادي، استفاده شده وكارائي و موثر بودن خود را به طور عملي نشان داده است.

In this research, optimization of examinations' timetable for university courses, based on a real problem in one of the universities in Iran is studied. The objective function defined for this problem is more practical and realistic than the other objective functions that have been utilized by previous researchers in literature and effectively reflects the real objective of the problem. In order to define the objective function, we have made use of Coulomb's law in electricity that says the magnitude of the electrostatic force of interaction between two point charges is directly proportional to the scalar multiplication of the magnitudes of the charges and inversely proportional to the square of the distance between them. We have defined a repulsive force between any pair of Examinations. The optimum solution is achieved when the sum of all forces is minimized. Hence, the obtained mathematical model is a non-linear programming with binary variables, similar to the quadratic assignment problem (QAP) which is an NP-Hard problem. This sort of problems can be solved exactly only if they are in small sizes. For solving this problem in medium and large scale, some methods are used based on Simulated Annealing (SA) algorithm and Imperialist Competitive algorithm (ICA). These algorithms can reach good sub-optimal solutions in a short period of time. Practical results of this mathematical model are already used in one of the national universities in Iran. The practical results demonstrate the high efficiency and effectiveness of this model.