تحليل بيزي تقريبي داده هاي فضايي – زماني با استفاده از يك ميدان تصادفي ماركوفي گاوسي

Approximate Bayesian Analysis of Spatio-Temporal Data Using a Gaussian Markov Random Field

براي مدل بندي پاسخ هاي فضايي كه در طول زمان مشاهده مي شوند گاهي از مدل هاي سلسله مراتبي فضايي- زماني استفاده مي شود كه در آن ساختار همبستگي فضايي – زماني داده ها توسط يك ميدان تصادفي پنهان گاوسي با تابع كوواريانس فضايي ماترن‎ ‏در نظر گرفته مي‌شود. يكي از اهداف مهم در بررسي اين مدل‌ها برآورد پارامترها و متغيرهاي پنهان و پيشگويي پاسخ ها در زمان هاي معلوم و موقعيت هاي معلوم فاقد مشاهده است. در اين مقاله براي تحليل اين مدل‌ها، ابتدا رهيافت بيزي معمولي ارائه مي شود. به دليل پيچيدگي توزيع هاي پسين و توزيع هاي شرطي كامل اين مدل ها و استفاده از نمونه هاي مونت كارلويي در تحليل بيزي معمولي، زمان محاسبات بسيار طولاني است. براي رفع اين مشكل ميدان تصادفي پنهان گاوسي با تابع كوواريانس ماترن‎، به صورت يك ميدان تصادفي ماركوفي گاوسي در نظر گرفته مي‌شود. براي توليد داده از اين ميدان تصادفي ماركوفي گاوسي از رهيافت معادلات ديفرانسيل جزيي تصاد‎‏في مي توان استفاده كرد. سپس از روش بيز تقريبي و تقريب لاپلاس آشياني جمع بسته‎ براي به دست آوردن‎‎ يك تقريب دقيق از توزيع‌هاي پسين و استنباط‌ها پيرامون مدل استفاده مي‌شود. در نهايت در اين مقاله يك مجموعه داده واقعي مربوط به ميزان بارندگي استان سمنان در سال 1391، اندازه گيري شده در ايستگاه هاي هواشناسي اين استان با مدل و روش هاي ارائه شده مورد مطالعه قرار مي گيرد.

Hierarchical spatio-temporal models are used for modeling space-time responses and temporally and spatially correlations of the data is considered via Gaussian latent random field with Matérn covariance function. The most important interest in these models is estimation of the model parameters and the latent variables, and is predict of the response variables at new locations and times. In this paper, to analyze these models, the Bayesian approach is presented. Because of the complexity of the posterior distributions and the full conditional distributions of these models and the use of Monte Carlo samples in a Bayesian analysis, the computation time is too long. For solving this problem, Gaussian latent random field with Matern covariance function are represented as a Gaussian Markov Random Field (GMRF) through the Stochastic Partial Differential Equations (SPDE) approach. Approximatin Baysian method and Integrated Nested Laplace Approximation (INLA) are used to obtain an approximation of the posterior distributions and to inference about the model. Finally, the presented methods are applied to a case study on rainfall data observed in the weather stations of Semnan in 2013.