تاثير تفاضل گيري در ايستايي و دقت مدل هاي سري زماني در پيش بيني تراز سطح درياچه

The effect of differencing in stationary and accuracy of time series in predicting of lake level

سابقه و هدف: يكي از فرض‌هاي بسيار مهم در مدل‌سازي سري‌‌هاي زماني ايستا بودن آن است. ميزان ايستاي مي تواند متفاوت باشد به طوري كه در تعاريف منابع مختلف ايستايي مرتبه‌ي اول، مرتبه‌ي دوم، قوي و اكيد تعريف شده است. لذا در اين پژوهش به بررسي تأثير تفاضل‌گيري‌هاي فصلي، غيرفصلي و توأم بر ميزان ايستايي سري زماني پرداخته شد. همچنين تأثير ميزان ايستايي بر عملكرد مدل هاي ARMA، ARIMA و SARIMA در مدل‌سازي و پيش‌بيني سري‌زماني تراز ماهانه‌ي سطح درياچه‌ از جنبه‌هاي مختلف بررسي گرديد. مواد و روش‌ها: بدين منظور از 96 داده‌ي ماهانه‌ي اندازه گيري شده از درياچه‌ي ميشيگان - هارُن واقع در مرز كشورهاي آمريكا و كانادا استفاده شد. 76 سال ابتدايي اين داده‌ها براي دوره‌ي واسنجي و 20 سال انتهايي براي دوره‌ي اعتبارسنجي در نظر گرفته شد. ابتدا به كمك آزمون‌هاي من - كندال فصلي و فيشر وجود اجزاء روند و دوره در سري بررسي شد. اين دو جز اصلي‌ترين عوامل ناايستا كننده سري زماني هستند. سپس از تفاضل گيري‌هاي فصلي، غيرفصلي و هردو استفاده شد و نتايج با داده‌هاي بدون تفاضل‌گيري مقايسه شد. به منظور بررسي ميزان ايستايي سري‌هاي به دست آمده نيز از نمودار ACF و آزمون ديكي-فولر تعمييم يافته استفاده شد. نوع و تعداد پارامترهاي مورد نياز در مدل‌ها نيز با استفاده از نمودار ACF براي هركدام از اين حالات تعيين گرديد. سپس هركدام از سري ها با استفاده از مدل مناسب خود، مدلسازي و پيش بيني شدند. يافته‌ها: بررسي‌ها نشان داد كه هيچگونه روند و تناوبي در داده ها وجود ندارد و سري زماني ايستا است. با اين حال استفاده از تفاضل گيري هاي فصلي و توأم ميزان ايستايي را بيشتر مي كنند. اما تفاضل گيري غيرفصلي سري را ناايستا مي كند. استفاده‌ي همزمان از تفاضل‌گيري فصلي و غيرفصلي داراي بيشترين تأثير در ميزان ايستا شدن تراز سطح درياچه است. مطابق با نمودار ACF، استفاده از تفاضل گيري توأم باعث مي شود كه به استفاده از پارامترهاي فصلي در مدل احتياج پيدا شود. در صورتي كه در ديگر حالت ها اينگونه نيست. بنابراين سري بدون تفاضل‌گيري با مدل ARMA، سري تفاضل‌گيري فصلي شده با مدل ARIMA و سري تفاضل گيري توأم شده با مدل SARIMA مدل‌سازي گرديد. نتايج نشان داد كه هنگام استفاده از تفاضل‌گيري توأم، تعداد مدل‌هاي موردنياز براي دستيابي به دقيق‌ترين پيش‌بيني به اندازه‌ي بسيار زيادي كاهش مي يابد. به طوري كه بدون تفاضل‌گيري به 1444 مدل ARMA نياز بود كه اين ميزان هنگام استفاده از تفاضل‌گيري‌هاي فصلي و غيرفصلي به 64 مدل SARIMA كاهش يافت. از طرف ديگر با استفاده از تعداد پارامترهاي بسيار كمتر (2 پارامتر) در مدل SARIMA نتيجه‌اي مشابه و حتي بهتر از مدل ARMA با تعداد 21 پارامتر به دست آمد. نتيجه‌گيري: نتايج نشان داد كه ايستاسازي هرچه بيشتر تراز ماهانه‌ي درياچه كه به خودي خود ايستاست، تعداد مدل‌ها و تعداد پارامترهاي موردنياز مدل‌ها را براي دست‌يابي به بهترين نتيجه به اندازه‌ي زيادي كاهش مي‌دهد. بدين منظور تفاضل‌گيري توأم بيشتر از ساير روش‌ها سري موردنظر را ايستا نمود.

Background and Objectives: One of the most important assumptions in the modeling of time series, it is to be stationary. The amount of stationary can be various, so that different definitions exist such as first order and second order stationary and strong and strict stationary. Therefore, this study cover the effect of differencing on the stationary value as well as the precision of the ARMA, ARIMA and SARIMA models in the modeling and monthly prediction of time series. Materials and Methods: For this purpose, 96 years data of lake level, which is monthly measurement related to Michigan-Huron Lake on the border of United States and Canada, are used. The 76-years of primary utilized for training and the rest of 20-years are used for validation. Firstly, the existing of the trend and period components in the time-series were assessed using Fischer and man-Kendal tests. These two components are the main factors in the appearance of non-stationary in time series. Therefore seasonal differencing, non-seasonal differencing and both of them at same time were measured and their results were compared by non- differencing data. To assessment of achieved time-series differencing, the ACF diagram and generalized Dicky-Fouler test were utilized. The type and amount of required parameters in different models were determined by ACF diagram. Then, each of series was modeled and predicted using appropriate model. The results indicated that there is not a certain trend and period in series. However, the using of seasonal differencing increased the stationary but non-seasonal differencing lead to non-stationary of these time series. The most increasing in stationary was indicated by using of seasonal and non-seasonal differencing. Due to ACF diagram, using both of differencing results in use of seasonal parameters in model. Therefore, series without differencing with ARMA model and series with seasonal differencing with SARIMA are modeled. Results: The investigations showed the concurrent using of seasonal and non-seasonal differencing has the most impact on the rate of getting stationary alignment of the Lake in compare with other methods. As a result, the numbers of model needed to achieve the most accurate predictions were reduced in large scale. In such a way in non-differencing situation, 1444 model of ARMA were needed that this amount in situation of seasonal differencing and non-seasonal differencing were reduced in 64 models of SARIMA. On the other hand, by reducing much more number of parameters (two parameters) in SARIMA model, similar result is even better than ARMA model with 21 parameters. Conclusion: The results showed that the more making stationary of monthly lake level which itself is stationary, reduces the number of models and the number of model's parameters needed to achieve the best outcome too much. For this purpose, combined differencing made the series stationary more than the other methods.