تحليل ارتعاش آزاد نانوتيرتيموشنكو باريك شونده دوراني بر روي بستر الاستيك به كمك روش مربع‌‌سازي ديفرانسيلي

Free Vibration Analysis of a Rotating Tapered Timoshenko Nano-Beam on Elastic Foundation using Differential Quadrature Method

در اين مقاله ارتعاش آزاد نانو تير دوار با سطح مقطع متغير بر روي بستر الاستيك به روش مربع‌سازي ديفرانسيلي مورد بررسي قرار مي­ گيرد. به منظور افزايش دقت، از مدل تير تيموشنكو استفاده مي­ شود كه عبارات اينرسي دوراني و تغيير شكل برشي را در نظر مي­ گيرد. ابتدا نظريه الاستيسيته غير‌محلي ارينگن به صورت اجمالي بررسي و سپس معادلات نانو تير تيموشنكو با توجه به تأثيرات مقياس نانو، سطح مقطع متغير و دوراني بودن نانو تير استخراج مي­ شود. پس از بي‌بعد سازي معادلات با استفاده از پارامترهاي بي‌بعد معرفي شده، معادلات به فرم مورد نظر در روش مربع‌سازي ديفرانسيلي بازنويسي و با بهره ­گيري از روش ذكر شده حل مي­شود و فركانس‌هاي طبيعي استخراج مي­گردند. براي محاسبه فركانس­ هاي طبيعي، حالت­هاي مختلفي در نظر گرفته مي ­شود كه در آن تأثير پارامتر نانو، سرعت دوراني، شعاع توپي، ضريب تغيير سطح مقطع و سختي بستر الاستيك مورد بررسي قرار مي­ گيرد. براي اعتبارسنجي نتايج، با صرف­ نظر از بعضي عبارات، مسأله مورد پژوهش با نتايج مسائل ساده‌تر ارائه شده در ساير مقالات مقايسه مي­ شود كه در هر مورد تطابق قابل قبولي مشاهده مي ­گردد.

The free vibration of a rotating Timoshenko nanobeam with a variable cross section on elastic foundation is investigated using the differential quadrature method. For more accuracy, the Timoshenko beam theory is applied where the effects of the shear deformation and rotary inertia are considered. First, the Eringen nonlocal elasticity theory is investigated briefly and the governing differential equations of motion of a Timoshenko nanobeam are derived considering the nonlocal scale parameter, variable cross section and rotation of the nanobeam. Then, by applying the nondimensional parameters, the equations are obtained in the nondimensional form and then, they are rewritten in the differential quadrature form. Finally, by solving these equations, the natural frequencies of the system are obtained. A number of parametric studies are conducted to assess the effects of the nonlocal scaling parameter, rotational speed, hub radius, and the stiffness coefficients of the elastic foundation on the natural frequencies of the system. By neglecting some parameters to reach a simpler model, the results are validated against those reported in the literature where a reasonably good agreement is observed.