وجود و يگانگي جواب هاي مثبت نوعي مساله مقدار مرزي شامل معادله ديفرانسيل مرتبه كسري

Existstence and uniqueness of positive solution for a class of boundary value problem including fractional differential equation

در اين مقاله نوعي مسئله مقدار مرزي شامل يك معادله ديفرانسيل مرتبه كسري را بررسي مي كنيم. مسئله را از لحاظ وجود و يگانگي جواب هاي مثبت بررسي مي كنيم كه در آن مشتق مرتبه كسري از نوع ريمن-ليوويل است. ابتدا تابع گرين محاسبه مي شود سپس ثابت مي شود تابع گرين مثبت است و با تعيين سوپريمم انتگرال تابع گرين روي بازه جواب و با استفاده از برخي تعميم هايي كه اخيراً براي نگاشت هاي -انقباضي ارائه شده است، شرايط لازم و كافي را براي وجود و يگانگي جواب مثبت اين مسئله تعيين مي كيم. بدين منظور كه ابتدا با استفاده از وجود جواب پاييني براي مسئله فوق و استفاده از تعميم نگاشت هاي -انقباضي روي فضاي مرتب، وجود ويگانگي جواب مثبت ثابت مي شود سپس با استفاده از تعميم ديگري از نگاشت هاي -انقباضي روي فضاي مرتب وجود و يگانگي جواب مثبت مسئله ثابت مي شود. هم چنين مثالي براي تشريح نتايج ثابت شده ارائه مي شود.

In this paper we investigate a kind of boundary value problem involving a fractional differential equation. We study the existence of positive solutions of the problem that fractional derivative is the Reimann-Liouville fractional derivative. At first the green function is computed then it is proved that the green function is positive. We present necessary and sufficient conditions for existence of positive solution by calculating supremum of integral of green function over the solution interval and by use of some expansions of contraction mapping that are presented recently. For this purpose، at first the existence and uniqueness of solution for the problem، by use of existence of lower solution for the problem and expansion of contraction mapping on ordered space، is proved. Then by use of another expansion of contraction mapping on ordered spaces، the existence and uniqueness of positive solution is proved. Also، an example is presented to illustrate the proven results.