تحليل پايداري و دوشاخگي سيستم تير-جرم-فنر-دمپر تحت رزونانس‌هاي اصلي و داخلي يك به سه

Stability and bifurcation analysis of a beam-mass-spring-damper system under primary and one-to-three internal resonances

در اين مقاله تعاملات مودال غيرخطي و پايداري تير ريلي حامل سيستم جرم-فنر-دمپر بررسي شده است. بدين منظور معادلات ارتعاشي بي‌بعد حاكم بر سيستم بر اساس روش مقياس‌هاي چندگانه مورد تحليل قرار گرفته است. با در نظر گرفتن ميرايي ويسكوالاستيك كلوين-وويت در تير، شكل مودهاي مختلط و فركانس تشديد غيرخطي وابسته به زمان استخراج شده است. به‌كارگيري روش مقياسهاي چندگانه به شكل مرسوم باعث تناقض فيزيكي در پاسخ زماني ارتعاشات آزاد جرم متمركز مي‌شود كه لازم است برطرف گردد. پس از تحليل ارتعاشات آزاد، پاسخ اجباري سيستم تحت تحريك هارمونيك در حوالي فركانس طبيعي اول و وقوع رزونانس داخلي يك به سه تحليل شده است. پارامترهاي سيستم يك درجه آزادي به صورتي در نظر گرفته شده كه تعامل مودال از طريق مكانيزم رزونانس داخلي اتفاق افتد. در اين شرايط پاسخ فركانسي سيستم و پايداري آن مورد بررسي قرار گرفته و نشان داده شده است كه ناپايداري متناظر با پرش و دوشاخگي هاپف در دامنه ارتعاشي رخ مي‌دهد. نمودارهاي پاسخ زماني، فاز و پوانكاره نشان مي‌دهد كه رفتار ارتعاشي متناوب، شبه‌متناوب و آشوبناك در سيستم اتفاق مي‌افتد. به‌منظور تصديق نتايج مقاله حاضر، فركانس‌هاي طبيعي سيستم با نتايج موجود در پژوهش‌هاي پيشين مقايسه شده است؛ علاوه بر اين مقايسه، پاسخ فركانسي بر اساس انتگرال‌گيري عددي اعتبار نتايج مقاله حاضر را نشان مي‌دهد.

In this paper nonlinear modal interactions and stability of a Rayleigh beam carrying a mass-spring-damper system are investigated. For this purpose, the dimensionless equations governing the vibration of the system are analyzed based on multiple scales method. By considering viscoelastic Kelvin-Voigt damping in the beam, complex mode shapes and time-dependent resonance frequencies are extracted. Using the traditional form of the multiple scales method results in physical contradiction in the time response of the concentrated mass which should be resolved. After free vibration analysis, the forced response of the system under harmonic force with frequency close to the first natural frequency and occurrence of one-to-three internal resonance is studied. The parameters of the one degree of freedom system are considered in a way that the modal interaction occurs via internal resonance mechanism. In this condition, frequency response of the system and its stability are investigated and it is shown that the unstability associated with the jump and Hopf bifurcation occurs in the vibration amplitude. Plots of the time response, phase and Poincare show that periodic, quasi-periodic and chaotic vibration may take place in the system. In order to verify the present paper’s results, the natural frequencies of the system are compared to those of the previous studies; in addition to this comparison, the frequency response based on numerical integration validates the results of the present paper.