روزنامه با شماره پیاپی سال 2004

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We study stability of an equilibrium f∗ of autonomous dynamical systems under asymptotically small perturbations of the equation. We show that such stability takes place if the domain of attraction of the equilibrium f∗ contains a one-parametric ordered family F∗. In the stability analysis we need a special S-relation (a kind of “restricted partial ordering”) to be preserved relative to the family F∗. This S-relation is inherited from the Sturmian zero set properties for linear parabolic equations. As main applications, we prove stability of the self-similar blow-up behaviour for the porous medium equation, the p-Laplacian equation and the dual porous medium equation in R with nonlinear lower-order perturbations. For such one-dimensional parabolic equations the S-relation is Sturmʹs Theorem on the nonincrease of the number of intersections between the solutions and particular solutions with initial data in F∗. This Sturmian property plays a key role and is true for the unperturbed PME, but is not true for perturbed equations. Résumé Non étudions la stabilité dʹun équilibre autonome f∗ de systèmes dynamiques, sous des perturbations asymptotiquement petites de l’équation. Nous prouvons que cette stabilité apparaı̂t si le domaine dʹattraction de l’équilibre f∗ contient une famille à un paramètre ordonnée, F∗. Dans lʹanalyse de la stabilité, nous avons besoin quʹune relation spéciale, la S-relation (qui est une sorte “dʹordre partiel restreint”), soit préservée relativement à la famille F∗. Cette S-relation découle des propriétés de lʹensemble des zéros Sturmiens pour les équations paraboliques linéaires. Comme principales applications, nous montrons la stabilité du comportement auto-similaire pour l’équation des milieux poreux, l’équation du p-Laplacien et l’équation duale des milieux poreux dans R, avec des perturbations non-linéaires dʹordre inférieur. Pour de telles équations paraboliques en dimension un, la S-relation est en fait le théorème de Sturm sur la non-croissance du nombre dʹintersection entre les solutions générales et les solutions particulières avec donnée initiale dans F∗. Cette propriété Sturmienne joue un role fondamental et reste valable pour l’équation des milieux poreux non perturbée, mais cela nʹest plus le cas pour des équations perturbées.

Journal of Functional Analysis

2004

Journal of Functional Analysis