The n! conjecture and a vector bundle on the Hilbert scheme of n points in the plane

The focus of this paper is on algebraic vector bundles over Pn and their applications to the Garsia–Haiman representation theoretic interpretation of the Macdonald symmetric polynomials. This interpretation involves a certain bigraded Sn-module, Hμ, indexed by partitions μ of n. Bergeron and Garsia (preprint) consider the relationships between Hμ, for μ a partition of n+1, and the spaces Hμi, for μi a partition of n contained in μ. They formulated conjectures regarding the sums and intersections of these spaces. This paper provides a geometric interpretation of these conjectures. Résumé Dans cet article on met lʹaccent sur les fibrés vectoriels (algébriques) sur Pn et leur application à lʹinterprétation en termes de réprésentations des polynômes symétriques de Macdonald, due à Garsia–Haiman. Cette interprétation utilise certains Sn-modules bigradués, Hμ, indexés par les partitions μ of n. La relation entre Hμ pour une partition μ de n+1 et les espaces Hμi pour les partitions μi de n incluses dans μ a été étudiée par. Bergeron et Garsia dans (preprint), où ils proposent des conjectures concernant la somme et lʹintersection de tels espaces. Dans le présent article on fournit une interprétation géométrique de ces conjectures.