Shuffle algebra and polylogarithms Original Research Article

Generalized polylogarithms are defined as iterated integrals with respect to the two differential forms ω0=dz/z and ω1=dz/(1−z). We give an algorithm which computes the monodromy of these special functions. This algorithm, implemented in AXIOM, is based on the computation of the associator ΦKZ of Drinfelʹd, in factorized form. The monodromy formulae involve special constants, called multiple zeta values. We prove that the algebra of polylogarithms is isomorphic to a shuffle algebra. Résumé Les polylogarithmes généralisés sont des fonctions obtenues comme des intégrales itérées par rapport aux deux formes différentielles ω0=dz/z et ω1=dz/(1−z). On donne un algorithme de calcul de la monodromie de ces fonctions spéciales. Cet algorithme, implanté dans le système de calcul formel AXIOM, repose sur le calcul de lʹassociateur de Drinfelʹd ΦKZ, mis sous forme factorisée. Les formules de monodromie comportent des constantes particulières appelées multiple zeta values. Nous démontrons que lʹalgèbre des polylogarithmes est isomorphe à une algèbre de mélange.