نتايجي در مورد مدول‌هاي k- بي‌تاب

An Existence Results on Positive Solutions for a Remarks on k-Torsionless Modules

فرض كنيد R يك حلقه جابه‌جايي و نوتري باشد. در ، مدول‌هاي بي‌تاب به‌عنوان تعميمي از مدول‌هاي بي‌تاب و انعكاسي تعريف شده‌اند. بدين معنا كه مدول‌هاي بي‌تاب، مدول 1- بي‌تاب و مدول‌هاي انعكاسي، مدول 2- بي‌تاب باشند. در اين مقاله، برخي از ويژگي‌هاي مدول‌هاي بي‌تاب، انعكاسي و در حالت كلي بي‌تاب را مورد بررسي قرار مي‌دهيم. ثابت مي‌كنيم كه براي مدول با فرض ، مدول بي‌تاب است اگر و تنها اگر براي هر ، به ‌طوري‌كه ، مدول بي‌تاب باشد، و براي هر به‌ طوري‌كه داشته باشيم . بعلاوه، با استفاده از فرمول آسلندر - بريدجر، ثابت مي‌كنيم مدول بي‌تاب است اگر و تنها اگر براي هر ، به ‌طوري‌كه ، مدول بي‌تاب باشد، و براي هر به ‌طوري‌كه داشته باشيم . همچنين ثابت مي‌كنيم كه روي حلقه‌هاي گورنشتاين و موضعي با بعد ، كلاس مدول‌هاي ماكزيمال كوهن - مكالي و كلاس مدول‌هاي بي‌تاب معادلند. در پايان شرايط لازم و كافي براي اين كه حاصل‌ضرب تانسوري مدول‌هاي بي‌تاب مدول بي‌تاب شود را به‌دست مي‌آوريم.

Let R be a commutative Noetherian ring. The k-torsionless modules are defined in [7] as a generalization of torsionless and reflexive modules، i.e.، torsionless modules are 1-torsionless and reflexive modules are 2-torsionless. Some properties of torsionless، reflexive، and k-torsionless modules are investigated in this paper. It is proved that if M is an R-module such that G-dimR(M)<∞، then M is k-torsionless if and only if Mp is k-torsionless for p∊Spec(R) with depth (RP)≤k-1، and dephRp (Mp)≥k for p∊Spec(R) with deph(Rp)≥k. Furthermore، by Auslander-Bridger formula، we prove that M is k-torsionless if and only if Mp is k-torsionless for p∊Spec(R) with depth (RP)≤k-1، and G-dimRp(Mp)≤depth(Rp)-k for p∊Spec(R) with deph(Rp)≥k. Also، it is shown that the class of maximal Cohen-Macaulay modules and the class of k-torsionless modules are equivalent over Gorenstein local ring with dimension k. Finally، we provide the necessary and sufficient conditions which led the tensor product of k-torsionless modules to be k-torsionless.