اسپلاين بيضوي و كاربرد آن در توليد داده‌هاي شتاب ثقل سطح دريا در خليج فارس

در اين مقاله، روش درون‌يابي براي توليد داده‌هاي شتاب ثقل در سطح دريا در خليج‌ فارس با استفاده از ژئوئيد حاصل از ارتفاع‌سنجي ماهواره‌اي، مدل‌هاي ژئوپتانسيل با قدرت تفكيك بالا‌ و اسپلاين بيضوي ارائه مي‌گردد. ابتدا به تعريف توابع اسپلاين بيضوي در يك فضاي هيلبرت متشكّل از تمامي توابع بي­نهايت بار مشتق­پذير پرداخته شده است. جهت تعريف توابع اسپلاين، نرم عملگرهاي ديفرانسيلي خطي ازجمله بلترامي و هلمهولتز (از نوع ساده و تكراري) بر روي يك رويه بيضيگون كمينه گرديده و توابع اسپلاين به گونه‌اي تعيين مي‌شوند كه در شرايط ديريكله گسسته معلوم بر روي سطح بيضيگون صدق نمايند. در اين راستا توابع گرين و نيز هسته هاي بازتوليد فضاهاي هيلبرت نقش مهمي را ايفا مي‌كنند. جهت توليد داده‌هاي شتاب ثقل، ابتدا ارتفاع ژئوئيد به دست‌آمده از روش ارتفاع‌ سنجي ماهواره‌اي توسط رابطه‌ي برونز بيضوي به پتانسيل باقيمانده تبديل و به آن پتانسيل ژئوئيد اضافه مي­گردد تا پتانسيل واقعي بدست آيد. در ادامه اثر ميدان مرجع از روي پتانسيل واقعي حذف و اختلاف پتانسيل حاصل مي گردد. در مرحله­ي بعد، با استفاده از اسپلاين بيضوي براي مسأله‌ ديريكله گسسته به اختلاف پتانسيل تابعي برازانده و عملگر گراديان بر روي آن اعمال مي­شود. پس از آن اثر ميدان مرجع حذف شده، به صورت شتاب ثقل به مقادير به دست آمده از مرحله­ قبل افزوده مي­گردد. براي اين منظور، از بسط شتاب جاذبه بيضوي تا درجه و مرتبه 360 به علاوه نيروي گريز از مركز استفاده مي­شود. داده‌هاي شتاب‌ ثقل به‌دست آمده توسط آنومالي هواي آزاد به سطح ژئوئيد منتقل مي‌شوند. در نهايت مقايسه‌اي بين روش درون‌يابي‌ اسپلاين بيضوي و كروي ارائه مي گردد.

In this paper, a method is proposed for producing gravity acceleration at sea surface in the Persian Gulf. This method is based on the Geoid height from satellite altimetry, high resolution Geopotential models, and ellipsoidal splines. First, the definition of the ellipsoidal spline functions is presented in a Hilbert space, which is consisted of infinitely often differentiable functions. In order to define the elipsoidal spline functions, the norm of the differential operators, including the Beltrami and Helmholtz in both the simple and iterated form, are minimized. In this respect, the reproducing kernels and the Green functions play an important role. The derived formulae are used to produce gravity acceleration at sea surface. To perform this method, the Geoid height, derived from satellite altimetry, is transformed into potential residual by Bruns formula. Then, the actual potential is derived by adding the Geoid’s potential to the potential residuals. To obtain potential difference values, the effect of the reference field is subtracted from the actual potential values. By using ellipsoidal splines, the potential difference values are interpolated, which represent an analytical formula. By using the gradient of the analytical formula, we arrive at the gravity difference values. The removed effect of the reference field is added to the gravity difference values to obtain the gravity accelerations by adding the gravity values of a Geopotential model up to the degree and order 360, plus the centrifugal force. In the final step, the obtained gravity accelerations are moved to the sea surface using free air correction. A comparison between ellipsoidal and spherical splines is also presented.