تعميمي از حدس اردوش- سرپينسكي

A generalization of the Erdos-Serpinski conjecture

فرض كنيد(σ(n مجموع مقسوم عليه هاي عدد n باشد. در اين مقاله ابتدا با تمركز بر حدس اردوش- سرپينسكي، كه به بيان نامتناهي بودن مجموعه جواب معادله ي (σ(n+1)=σ(n مي پردازد، ضمن مرور بر برخي از تحقيقاتي كه سعي در حل معادلات شامل σ دارند، به عنوان تعميمي از معادله ي (σ(n+1)=σ(n به بررسي جواب هاي معادله ي (σ(n+1)=kσ(n در شرايط مختلف مي پردازيم. به عنوان مثال با استفاده از نمايش بدست آمده از اعداد تام نشان مي دهيم تنها عدد اول كه جوابي از معادله ي (σ(n+1)=2σ(n باشد، 5 است و با استفاده از آن نتيجه مي گيريم عدد اول n در صورتيكه مخالف 5 باشد جواب معادله (σ(n+1)=kσ(n است اگر وتنها اگر عدد n+1 عددي كا-تام باشد. همچنين نشان مي دهيم تنها جواب معادله ي (σ(n+1)=2^r σ(n كه بصورت n=p ,n+1=2q_1 q_2…q_s باشد كه در آن s≤r و q_1 ، q_2، ...، q_s و p اعدادي فرد و اول هستند، به ازاي (n,r)=(5,1) است.

Suppose that σ(n) is the sum of the divisors of n. This paper focuses on the Erdos-Serpinsky conjecture, which expresses the set of solutions of equation σ(n+1)=σ(n) is infinite. In present paper, we review some research on solutions of equations involving σ. As a generalization of equation σ(n+1)=σ(n), we investigate solutions of equation σ(n+1)=σ(n) under various conditions. For example, by using the representation of perfect numbers, we show that for a prime number n, n is a solution of equation σ(n+1)=2σ(n), if and only if n is equals to 5. Consequently, we conclude that for a prime number n≠5, n is a solution of equation σ(n+1)=kσ(n) if and only if n+1 is a k-perfect number. Also, we show that the only solution of equation σ(n+1)=2^r σ(n) which is presented as n=p ,n+1=2q_1 q_2…q_s ,where s≤r and q_1 ، q_2،...، q_s and p are odd and prime numbers, is (n,r)=(5,1).