محاسبه حساسيت هندسه طراحي براي مدل المان محدود با استفاده از روش نيمه‏ تحليلي بهبود يافته

Computation of shape design sensitivities for linear FEM using modified semi-analytical method

آناليز حساسيت در مدل المان محدود براي بهينه‌سازي سازه و اصلاح طرح سودمند است. در طي بهينه‌سازي عددي اغلب روش نيمه‏تحليلي براي تخمين مشتقات تابع هدف نسبت به متغيرهاي طراحي مورد استفاده قرار مي‎گيرد. عموماً محاسبه حساسيت به صورت عددي با عدم ‎دقت ناشي از اندازه گام همراه است و يافتن روشي كه نسبت به اندازه گام حساس نباشد از موضوعات مورد مطالعه است. يكي از روش‏هايي كه نسبت به اندازه گام حساسيت بسيار كمي دارد روش متغير مختلط است. روش اعداد مختلط براي محاسبه حساسيت، نسبت به ساير روش‎ها چندين مزيت بالقوه دارد. پياده‎سازي المان محدود براي مشتقات اول حساسيت با استفاده از اعداد مختلط سرراست است و فقط نياز به اختلال در شبكه‎بندي المان محدود در طول محور موهومي دارد. اين مقاله از متغير مختلط براي محاسبه آناليز حساسيت بهره مي‎برد و آن را با روش آناليز حساسيت مستقيم تركيب كرده و بدين ترتيب روشي جديد براي بدست آوردن آناليز حساسيت سازه‎هاي خطي ارايه ميدهد. مزيت روش ارايه‌شده سرعت، دقت و سادگي پياده‏سازي آن است. رويه ارايه‌شده با استفاده از مدل دو بعدي المان محدود مسايل خطي با حل تحليلي معلوم تشريح مي‎شود. نتايج مشتقات حساسيت با حل دقيق و حل‎هاي تفاضل محدود مقايسه مي‎شود و نشان داده مي‎شود كه روش پيشنهادي كارا بوده و نتايج بدست آمده دقيق و پايدار است.

Shape sensitivity analysis of finite element models is useful for structural optimization and design modifications. Within numerical design optimization, semi-analytical method for sensitivity analysis is frequently applied to estimate the derivative of an objective function with respect to the design variables. Generally, numerical sensitivity analysis commonly suffers from severe error due to the perturbation size, and finding a method which is not sensitive to the perturbation size is a topic under study. Complex variable methods for sensitivity analysis have some potential advantages over other methods. For first order sensitivities using the complex variable method, the implementation is straightforward, only requiring a perturbation of the finite element mesh along the imaginary axis. This paper uses a complex variable and combines it with discrete sensitivity analysis, thus a new method is presented to obtain derivatives for linear structure. The advantages of this method are that it is quick, accurate and simple to implement. The methodologies are demonstrated using two dimensional finite element models of linear elasticity problems with known analytical solutions. Obtained sensitivity derivatives are compared to the exact solution and also finite difference solutions and it is shown that the proposed method is effective and can predict the stable and accurate sensitivity results.